Esempi

(0, 0)

$(0, 0)$ ,

(4, 0)

$(4, 0)$ ,

(6, 0)

$(6, 0)$

Passaggio 1

Ci sono due equazioni generali per un'ellissi.

Equazione dell'ellissi orizzontale

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equazione dell'ellissi verticale

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 2

a

$a$ è la distanza tra il vertice

(6, 0)

$(6, 0)$ e il punto di centro

(0, 0)

$(0, 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

a = \sqrt{{(6 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}

$a = \sqrt{{(6 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai

0

$0$ da

6

$6$ .

a = \sqrt{6^{2} + {(0 - 0)}^{2}}

$a = \sqrt{6^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Eleva

6

$6$ alla potenza di

2

$2$ .

a = \sqrt{36 + {(0 - 0)}^{2}}

$a = \sqrt{36 + {(0 - 0)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Sottrai

0

$0$ da

0

$0$ .

a = \sqrt{36 + 0^{2}}

$a = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

a = \sqrt{36 + 0}

$a = \sqrt{36 + 0}$

Passaggio 2.3.5

Somma

36

$36$ e

0

$0$ .

a = \sqrt{36}

$a = \sqrt{36}$

Passaggio 2.3.6

Riscrivi

36

$36$ come

6^{2}

$6^{2}$ .

a = \sqrt{6^{2}}

$a = \sqrt{6^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

a = 6

$a = 6$

a = 6

$a = 6$

a = 6

$a = 6$

Passaggio 3

c

$c$ è la distanza tra il fuoco

(4, 0)

$(4, 0)$ e il centro

(0, 0)

$(0, 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

c = \sqrt{{(4 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}

$c = \sqrt{{(4 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai

0

$0$ da

4

$4$ .

c = \sqrt{4^{2} + {(0 - 0)}^{2}}

$c = \sqrt{4^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Eleva

4

$4$ alla potenza di

2

$2$ .

c = \sqrt{16 + {(0 - 0)}^{2}}

$c = \sqrt{16 + {(0 - 0)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai

0

$0$ da

0

$0$ .

c = \sqrt{16 + 0^{2}}

$c = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

c = \sqrt{16 + 0}

$c = \sqrt{16 + 0}$

Passaggio 3.3.5

Somma

16

$16$ e

0

$0$ .

c = \sqrt{16}

$c = \sqrt{16}$

Passaggio 3.3.6

Riscrivi

16

$16$ come

4^{2}

$4^{2}$ .

c = \sqrt{4^{2}}

$c = \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 3.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

c = 4

$c = 4$

c = 4

$c = 4$

c = 4

$c = 4$

Passaggio 4

Usare l'equazione

c^{2} = a^{2} - b^{2}

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Sostituisci

6

$6$ a

a

$a$ e

4

$4$ a

c

$c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come

{(6)}^{2} - b^{2} = 4^{2}

${(6)}^{2} - b^{2} = 4^{2}$ .

{(6)}^{2} - b^{2} = 4^{2}

${(6)}^{2} - b^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.2

Eleva

6

$6$ alla potenza di

2

$2$ .

36 - b^{2} = 4^{2}

$36 - b^{2} = 4^{2}$

Passaggio 4.3

Eleva

4

$4$ alla potenza di

2

$2$ .

36 - b^{2} = 16

$36 - b^{2} = 16$

Passaggio 4.4

Sposta tutti i termini non contenenti

b

$b$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sottrai

36

$36$ da entrambi i lati dell'equazione.

- b^{2} = 16 - 36

$- b^{2} = 16 - 36$

Passaggio 4.4.2

Sottrai

36

$36$ da

16

$16$ .

- b^{2} = - 20

$- b^{2} = - 20$

- b^{2} = - 20

$- b^{2} = - 20$

Passaggio 4.5

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- b^{2} = - 20

$- b^{2} = - 20$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- b^{2} = - 20

$- b^{2} = - 20$ .

\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 20}{- 1}

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 20}{- 1}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 20}{- 1}

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 20}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi

b^{2}

$b^{2}$ per

1

$1$ .

b^{2} = \frac{- 20}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 20}{- 1}$

b^{2} = \frac{- 20}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 20}{- 1}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Dividi

- 20

$- 20$ per

- 1

$- 1$ .

b^{2} = 20

$b^{2} = 20$

b^{2} = 20

$b^{2} = 20$

b^{2} = 20

$b^{2} = 20$

Passaggio 4.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

b = \pm \sqrt{20}

$b = \pm \sqrt{20}$

Passaggio 4.7

Semplifica

\pm \sqrt{20}

$\pm \sqrt{20}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Riscrivi

20

$20$ come

2^{2} \cdot 5

$2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.1

Scomponi

4

$4$ da

20

$20$ .

b = \pm \sqrt{4 (5)}

$b = \pm \sqrt{4 (5)}$

Passaggio 4.7.1.2

Riscrivi

4

$4$ come

2^{2}

$2^{2}$ .

b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Passaggio 4.7.2

Estrai i termini dal radicale.

b = \pm 2 \sqrt{5}

$b = \pm 2 \sqrt{5}$

b = \pm 2 \sqrt{5}

$b = \pm 2 \sqrt{5}$

Passaggio 4.8

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di

\pm

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

b = 2 \sqrt{5}

$b = 2 \sqrt{5}$

Passaggio 4.8.2

Ora, usa il valore negativo del

\pm

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

b = - 2 \sqrt{5}

$b = - 2 \sqrt{5}$

Passaggio 4.8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

b = 2 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}

$b = 2 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}$

b = 2 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}

$b = 2 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}$

b = 2 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}

$b = 2 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}$

Passaggio 5

b

$b$ è una distanza, quindi dovrebbe essere un numero positivo.

b = 2 \sqrt{5}

$b = 2 \sqrt{5}$

Passaggio 6

Il coefficiente angolare della retta tra il fuoco

(4, 0)

$(4, 0)$ e il centro

(0, 0)

$(0, 0)$ determina se l'ellisse è verticali o orizzontale. Se il coefficiente angolare è

0

$0$ , il grafico è orizzontale. Se è indefinito, il grafico è verticale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il coefficiente angolare è uguale alla variazione in

y

$y$ sulla variazione in

x

$x$ , o ascissa e ordinata.

m = \frac{variazione in y}{variazione in x}

$m = \frac{variazione in y}{variazione in x}$

Passaggio 6.2

La variazione in

x

$x$ è uguale alla differenza nelle coordinate x (differenza tra ascisse) e la variazione in

y

$y$ è uguale alla differenza nelle coordinate y (differenza tra ordinate).

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci i valori di

x

$x$ e

y

$y$ nell'equazione per trovare il coefficiente angolare.

m = \frac{0 - (0)}{0 - (4)}

$m = \frac{0 - (0)}{0 - (4)}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

0

$0$ .

m = \frac{0 + 0}{0 - (4)}

$m = \frac{0 + 0}{0 - (4)}$

Passaggio 6.4.1.2

Somma

0

$0$ e

0

$0$ .

m = \frac{0}{0 - (4)}

$m = \frac{0}{0 - (4)}$

m = \frac{0}{0 - (4)}

$m = \frac{0}{0 - (4)}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

4

$4$ .

m = \frac{0}{0 - 4}

$m = \frac{0}{0 - 4}$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai

4

$4$ da

0

$0$ .

m = \frac{0}{- 4}

$m = \frac{0}{- 4}$

m = \frac{0}{- 4}

$m = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 6.4.3

Dividi

0

$0$ per

- 4

$- 4$ .

m = 0

$m = 0$

m = 0

$m = 0$

Passaggio 6.5

L'equazione generale per un'ellissi orizzontale è

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 7

Sostituisci i valori

h = 0

$h = 0$ ,

k = 0

$k = 0$ ,

a = 6

$a = 6$ e

b = 2 \sqrt{5}

$b = 2 \sqrt{5}$ in

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ per ottenere l'equazione dell'ellissi

\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(6)}^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(6)}^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(6)}^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(6)}^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Passaggio 8

Semplifica per trovare l'equazione finale dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

0

$0$ .

\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.1.2

Somma

x

$x$ e

0

$0$ .

\frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

\frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2

Eleva

6

$6$ alla potenza di

2

$2$ .

\frac{x^{2}}{36} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

0

$0$ .

\frac{x^{2}}{36} + \frac{{(y + 0)}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{{(y + 0)}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.3.2

Somma

y

$y$ e

0

$0$ .

\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Applica la regola del prodotto a

$2 \sqrt{5}$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4.2

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 {\sqrt{5}}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4.3

Riscrivi

${\sqrt{5}}^{2}$ come

$5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.3.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{5}$ come

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Passaggio 8.4.3.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.4.3.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5} = 1$

Passaggio 8.4.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5} = 1$

Passaggio 8.5

Moltiplica

$4$ per

$5$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

Passaggio 9

Inserisci il TUO problema