Esempi

(2, 6, - 8)

$(2, 6, - 8)$ ,

(- 12, - 2, - 1)

$(- 12, - 2, - 1)$ ,

(- 2, 8, 9)

$(- 2, 8, 9)$ ,

(3, 0, 0)

$(3, 0, 0)$

Passaggio 1

Dati i punti

C = (- 2, 8, 9)

$C = (- 2, 8, 9)$ e

D = (3, 0, 0)

$D = (3, 0, 0)$ , trova un piano contenente i punti

A = (2, 6, - 8)

$A = (2, 6, - 8)$ e

B = (- 12, - 2, - 1)

$B = (- 12, - 2, - 1)$ che sia parallelo alla retta

CD

$CD$ .

A = (2, 6, - 8)

$A = (2, 6, - 8)$

B = (- 12, - 2, - 1)

$B = (- 12, - 2, - 1)$

C = (- 2, 8, 9)

$C = (- 2, 8, 9)$

D = (3, 0, 0)

$D = (3, 0, 0)$

Passaggio 2

Innanzitutto, calcola il vettore direzionale della retta passante per i punti

C

$C$ e

D

$D$ . Ciò può essere effettuato prendendo il valori delle coordinate del punto

C

$C$ e sottraendole dal punto

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Passaggio 3

Sostituisci i valori

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ quindi semplifica per ottenere il vettore direttore

V_{CD}

$V_{CD}$ per la retta

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩$

Passaggio 4

Calcola il vettore direttore di una retta attraverso i punti

A

$A$ e

B

$B$ usando lo stesso metodo.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Passaggio 5

Sostituisci i valori

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ quindi semplifica per ottenere il vettore direttore

V_{AB}

$V_{AB}$ per la retta

AB

$AB$ .

V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩

$V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩$

Passaggio 6

Il piano della soluzione conterrà una retta che a sua volta contiene i punti

A

$A$ e

B

$B$ e il vettore direttore

V_{A B}

$V_{A B}$ . Per far sì che questo piano sia parallelo alla retta

C D

$C D$ , trova il vettore normale del piano, che è anche ortogonale al vettore direttore della retta

C D

$C D$ . Calcola il vettore normale trovando il prodotto vettoriale

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ attraverso il determinante della matrice

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k - 14 & - 8 & 7 5 & - 8 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 8 & 7 \\ 5 & - 8 & - 9 \end{array}]$

Passaggio 7

Calcola il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

0

$0$ . Se non ci sono elementi

0

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga

1

$1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 7.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

-

$-$ .

Passaggio 7.1.3

Il minore per

a_{11}

$a_{11}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

1

$1$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 8 & 7 - 8 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica l'elemento

a_{11}

$a_{11}$ per il suo cofattore.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 8 & 7 - 8 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Passaggio 7.1.5

Il minore per

a_{12}

$a_{12}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$

Passaggio 7.1.6

Moltiplica l'elemento

a_{12}

$a_{12}$ per il suo cofattore.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j$

Passaggio 7.1.7

Il minore per

a_{13}

$a_{13}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

3

$3$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$

Passaggio 7.1.8

Moltiplica l'elemento

a_{13}

$a_{13}$ per il suo cofattore.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.1.9

Somma i termini.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 8 & 7 - 8 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 8 & 7 - 8 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.2

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 8 & 7 - 8 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i (- 8 \cdot - 9 - (- 8 \cdot 7)) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 8 \cdot - 9 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Moltiplica

- 8

$- 8$ per

- 9

$- 9$ .

i (72 - (- 8 \cdot 7)) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (72 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica

- (- 8 \cdot 7)

$- (- 8 \cdot 7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Moltiplica

- 8

$- 8$ per

7

$7$ .

i (72 - - 56) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (72 - - 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 56

$- 56$ .

i (72 + 56) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i (72 + 56) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i (72 + 56) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2.2

Somma

72

$72$ e

56

$56$ .

i \cdot 128 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.3

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot 128 - (- 14 \cdot - 9 - 5 \cdot 7) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - (- 14 \cdot - 9 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Moltiplica

- 14

$- 14$ per

- 9

$- 9$ .

i \cdot 128 - (126 - 5 \cdot 7) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - (126 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2.1.2

Moltiplica

- 5

$- 5$ per

7

$7$ .

i \cdot 128 - (126 - 35) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - (126 - 35) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2.2

Sottrai

35

$35$ da

126

$126$ .

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.4

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (- 14 \cdot - 8 - 5 \cdot - 8) k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (- 14 \cdot - 8 - 5 \cdot - 8) k$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

Moltiplica

- 14

$- 14$ per

- 8

$- 8$ .

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 - 5 \cdot - 8) k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 - 5 \cdot - 8) k$

Passaggio 7.4.2.1.2

Moltiplica

$- 5$ per

$- 8$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k$

Passaggio 7.4.2.2

Somma

$112$ e

$40$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Passaggio 7.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sposta

$128$ alla sinistra di

$i$ .

$128 \cdot i - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica

$- 1$ per

$91$ .

$128 i - 91 j + 152 k$

Passaggio 8

Risolvi l'espressione

$(128) x + (- 91) y + (152) z$ al punto

$A$ poiché si trova sul piano. Questo è usato per calcolare la costante nell'equazione per il piano.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica

$128$ per

$2$ .

$256 + (- 91) \cdot 6 + (152) \cdot - 8$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica

$- 91$ per

$6$ .

$256 - 546 + (152) \cdot - 8$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica

$152$ per

$- 8$ .

$256 - 546 - 1216$

Passaggio 8.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sottrai

$546$ da

$256$ .

$- 290 - 1216$

Passaggio 8.2.2

Sottrai

$1216$ da

$- 290$ .

$- 1506$

Passaggio 9

Aggiungi la costante per trovare l'equazione del piano

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$ .

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$

Passaggio 10

Moltiplica

$152$ per

$z$ .

$128 x - 91 y + 152 z = - 1506$

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