Esempi

Trova il piano passante per (1,2,-3) (3,5,-3) parallelo alla retta passante per (1,-1,1) (-2,-2,-2)
(1,2,-3) , (3,5,-3) , (1,-1,1) , (-2,-2,-2)
Passaggio 1
Dati i punti C=(1,-1,1) e D=(-2,-2,-2), trova un piano contenente i punti A=(1,2,-3) e B=(3,5,-3) che sia parallelo alla retta CD.
A=(1,2,-3)
B=(3,5,-3)
C=(1,-1,1)
D=(-2,-2,-2)
Passaggio 2
Innanzitutto, calcola il vettore direzionale della retta passante per i punti C e D. Ciò può essere effettuato prendendo il valori delle coordinate del punto C e sottraendole dal punto D.
VCD=<xD-xC,yD-yC,zD-zC>
Passaggio 3
Sostituisci i valori x, y e z quindi semplifica per ottenere il vettore direttore VCD per la retta CD.
VCD=-3,-1,-3
Passaggio 4
Calcola il vettore direttore di una retta attraverso i punti A e B usando lo stesso metodo.
VAB=<xB-xA,yB-yA,zB-zA>
Passaggio 5
Sostituisci i valori x, y e z quindi semplifica per ottenere il vettore direttore VAB per la retta AB.
VAB=2,3,0
Passaggio 6
Il piano della soluzione conterrà una retta che a sua volta contiene i punti A e B e il vettore direttore VAB. Per far sì che questo piano sia parallelo alla retta CD, trova il vettore normale del piano, che è anche ortogonale al vettore direttore della retta CD. Calcola il vettore normale trovando il prodotto vettoriale VAB x VCD attraverso il determinante della matrice [ijkxB-xAyB-yAzB-zAxD-xCyD-yCzD-zC].
[ijk230-3-1-3]
Passaggio 7
Calcola il determinante.
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Passaggio 7.1
Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi 0. Se non ci sono elementi 0 scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga 1 per il proprio cofattore e somma.
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Passaggio 7.1.1
Considera il grafico dei segni corrispondente.
|+-+-+-+-+|
Passaggio 7.1.2
Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione -.
Passaggio 7.1.3
Il minore per a11 è il determinante con riga 1 e colonna 1 eliminate.
|30-1-3|
Passaggio 7.1.4
Moltiplica l'elemento a11 per il suo cofattore.
i|30-1-3|
Passaggio 7.1.5
Il minore per a12 è il determinante con riga 1 e colonna 2 eliminate.
|20-3-3|
Passaggio 7.1.6
Moltiplica l'elemento a12 per il suo cofattore.
-|20-3-3|j
Passaggio 7.1.7
Il minore per a13 è il determinante con riga 1 e colonna 3 eliminate.
|23-3-1|
Passaggio 7.1.8
Moltiplica l'elemento a13 per il suo cofattore.
|23-3-1|k
Passaggio 7.1.9
Somma i termini.
i|30-1-3|-|20-3-3|j+|23-3-1|k
i|30-1-3|-|20-3-3|j+|23-3-1|k
Passaggio 7.2
Calcola |30-1-3|.
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Passaggio 7.2.1
È possibile trovare il determinante di una matrice 2×2 usando la formula |abcd|=ad-cb.
i(3-3--0)-|20-3-3|j+|23-3-1|k
Passaggio 7.2.2
Semplifica il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.2.1.1
Moltiplica 3 per -3.
i(-9--0)-|20-3-3|j+|23-3-1|k
Passaggio 7.2.2.1.2
Moltiplica --0.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.2.1.2.1
Moltiplica -1 per 0.
i(-9-0)-|20-3-3|j+|23-3-1|k
Passaggio 7.2.2.1.2.2
Moltiplica -1 per 0.
i(-9+0)-|20-3-3|j+|23-3-1|k
i(-9+0)-|20-3-3|j+|23-3-1|k
i(-9+0)-|20-3-3|j+|23-3-1|k
Passaggio 7.2.2.2
Somma -9 e 0.
i-9-|20-3-3|j+|23-3-1|k
i-9-|20-3-3|j+|23-3-1|k
i-9-|20-3-3|j+|23-3-1|k
Passaggio 7.3
Calcola |20-3-3|.
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Passaggio 7.3.1
È possibile trovare il determinante di una matrice 2×2 usando la formula |abcd|=ad-cb.
i-9-(2-3-(-30))j+|23-3-1|k
Passaggio 7.3.2
Semplifica il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.2.1.1
Moltiplica 2 per -3.
i-9-(-6-(-30))j+|23-3-1|k
Passaggio 7.3.2.1.2
Moltiplica -(-30).
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.2.1.2.1
Moltiplica -3 per 0.
i-9-(-6-0)j+|23-3-1|k
Passaggio 7.3.2.1.2.2
Moltiplica -1 per 0.
i-9-(-6+0)j+|23-3-1|k
i-9-(-6+0)j+|23-3-1|k
i-9-(-6+0)j+|23-3-1|k
Passaggio 7.3.2.2
Somma -6 e 0.
i-9--6j+|23-3-1|k
i-9--6j+|23-3-1|k
i-9--6j+|23-3-1|k
Passaggio 7.4
Calcola |23-3-1|.
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Passaggio 7.4.1
È possibile trovare il determinante di una matrice 2×2 usando la formula |abcd|=ad-cb.
i-9--6j+(2-1-(-33))k
Passaggio 7.4.2
Semplifica il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.4.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.4.2.1.1
Moltiplica 2 per -1.
i-9--6j+(-2-(-33))k
Passaggio 7.4.2.1.2
Moltiplica -(-33).
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.4.2.1.2.1
Moltiplica -3 per 3.
i-9--6j+(-2--9)k
Passaggio 7.4.2.1.2.2
Moltiplica -1 per -9.
i-9--6j+(-2+9)k
i-9--6j+(-2+9)k
i-9--6j+(-2+9)k
Passaggio 7.4.2.2
Somma -2 e 9.
i-9--6j+7k
i-9--6j+7k
i-9--6j+7k
Passaggio 7.5
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.5.1
Sposta -9 alla sinistra di i.
-9i--6j+7k
Passaggio 7.5.2
Moltiplica -1 per -6.
-9i+6j+7k
-9i+6j+7k
-9i+6j+7k
Passaggio 8
Risolvi l'espressione (-9)x+(6)y+(7)z al punto A poiché si trova sul piano. Questo è usato per calcolare la costante nell'equazione per il piano.
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Passaggio 8.1
Semplifica ciascun termine.
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Passaggio 8.1.1
Moltiplica -9 per 1.
-9+(6)2+(7)-3
Passaggio 8.1.2
Moltiplica 6 per 2.
-9+12+(7)-3
Passaggio 8.1.3
Moltiplica 7 per -3.
-9+12-21
-9+12-21
Passaggio 8.2
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
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Passaggio 8.2.1
Somma -9 e 12.
3-21
Passaggio 8.2.2
Sottrai 21 da 3.
-18
-18
-18
Passaggio 9
Aggiungi la costante per trovare l'equazione del piano (-9)x+(6)y+(7)z=-18.
(-9)x+(6)y+(7)z=-18
Passaggio 10
Moltiplica 7 per z.
-9x+6y+7z=-18
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