Esempi

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

Passaggio 1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Passaggio 2

Usa il grafico dei segni e la matrice data per trovare il cofattore di ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il minore per l'elemento

a_{11}

$a_{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Il minore per

a_{11}

$a_{11}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

1

$1$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 6 8 & 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6

$a_{11} = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Moltiplica

5

$5$ per

9

$9$ .

a_{11} = 45 - 8 \cdot 6

$a_{11} = 45 - 8 \cdot 6$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Moltiplica

- 8

$- 8$ per

6

$6$ .

a_{11} = 45 - 48

$a_{11} = 45 - 48$

a_{11} = 45 - 48

$a_{11} = 45 - 48$

Passaggio 2.1.2.2.2

Sottrai

48

$48$ da

45

$45$ .

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

Passaggio 2.2

Calcola il minore per l'elemento

a_{12}

$a_{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Il minore per

a_{12}

$a_{12}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 6 7 & 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 4 \cdot 9 - 7 \cdot 6

$a_{12} = 4 \cdot 9 - 7 \cdot 6$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Moltiplica

4

$4$ per

9

$9$ .

a_{12} = 36 - 7 \cdot 6

$a_{12} = 36 - 7 \cdot 6$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Moltiplica

- 7

$- 7$ per

6

$6$ .

a_{12} = 36 - 42

$a_{12} = 36 - 42$

a_{12} = 36 - 42

$a_{12} = 36 - 42$

Passaggio 2.2.2.2.2

Sottrai

42

$42$ da

36

$36$ .

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

Passaggio 2.3

Calcola il minore per l'elemento

a_{13}

$a_{13}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Il minore per

a_{13}

$a_{13}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

3

$3$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5

$a_{13} = 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Moltiplica

4

$4$ per

8

$8$ .

a_{13} = 32 - 7 \cdot 5

$a_{13} = 32 - 7 \cdot 5$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Moltiplica

- 7

$- 7$ per

5

$5$ .

a_{13} = 32 - 35

$a_{13} = 32 - 35$

a_{13} = 32 - 35

$a_{13} = 32 - 35$

Passaggio 2.3.2.2.2

Sottrai

35

$35$ da

32

$32$ .

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

Passaggio 2.4

Calcola il minore per l'elemento

a_{21}

$a_{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Il minore per

a_{21}

$a_{21}$ è il determinante con riga

2

$2$ e colonna

1

$1$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 8 & 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{21} = 2 \cdot 9 - 8 \cdot 3

$a_{21} = 2 \cdot 9 - 8 \cdot 3$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Moltiplica

2

$2$ per

9

$9$ .

a_{21} = 18 - 8 \cdot 3

$a_{21} = 18 - 8 \cdot 3$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Moltiplica

- 8

$- 8$ per

3

$3$ .

a_{21} = 18 - 24

$a_{21} = 18 - 24$

a_{21} = 18 - 24

$a_{21} = 18 - 24$

Passaggio 2.4.2.2.2

Sottrai

24

$24$ da

18

$18$ .

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

Passaggio 2.5

Calcola il minore per l'elemento

a_{22}

$a_{22}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Il minore per

a_{22}

$a_{22}$ è il determinante con riga

2

$2$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 7 & 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Passaggio 2.5.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{22} = 1 \cdot 9 - 7 \cdot 3

$a_{22} = 1 \cdot 9 - 7 \cdot 3$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Moltiplica

9

$9$ per

1

$1$ .

a_{22} = 9 - 7 \cdot 3

$a_{22} = 9 - 7 \cdot 3$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Moltiplica

- 7

$- 7$ per

3

$3$ .

a_{22} = 9 - 21

$a_{22} = 9 - 21$

a_{22} = 9 - 21

$a_{22} = 9 - 21$

Passaggio 2.5.2.2.2

Sottrai

21

$21$ da

9

$9$ .

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

Passaggio 2.6

Calcola il minore per l'elemento

a_{23}

$a_{23}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Il minore per

a_{23}

$a_{23}$ è il determinante con riga

2

$2$ e colonna

3

$3$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Passaggio 2.6.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{23} = 1 \cdot 8 - 7 \cdot 2

$a_{23} = 1 \cdot 8 - 7 \cdot 2$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Moltiplica

8

$8$ per

1

$1$ .

a_{23} = 8 - 7 \cdot 2

$a_{23} = 8 - 7 \cdot 2$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Moltiplica

- 7

$- 7$ per

2

$2$ .

a_{23} = 8 - 14

$a_{23} = 8 - 14$

a_{23} = 8 - 14

$a_{23} = 8 - 14$

Passaggio 2.6.2.2.2

Sottrai

14

$14$ da

8

$8$ .

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

Passaggio 2.7

Calcola il minore per l'elemento

a_{31}

$a_{31}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Il minore per

a_{31}

$a_{31}$ è il determinante con riga

3

$3$ e colonna

1

$1$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 5 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.7.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{31} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3

$a_{31} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3$

Passaggio 2.7.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1.1

Moltiplica

2

$2$ per

6

$6$ .

a_{31} = 12 - 5 \cdot 3

$a_{31} = 12 - 5 \cdot 3$

Passaggio 2.7.2.2.1.2

Moltiplica

- 5

$- 5$ per

3

$3$ .

a_{31} = 12 - 15

$a_{31} = 12 - 15$

a_{31} = 12 - 15

$a_{31} = 12 - 15$

Passaggio 2.7.2.2.2

Sottrai

15

$15$ da

12

$12$ .

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

Passaggio 2.8

Calcola il minore per l'elemento

a_{32}

$a_{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Il minore per

a_{32}

$a_{32}$ è il determinante con riga

3

$3$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 4 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.8.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{32} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 3

$a_{32} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 3$

Passaggio 2.8.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1.1

Moltiplica

6

$6$ per

1

$1$ .

a_{32} = 6 - 4 \cdot 3

$a_{32} = 6 - 4 \cdot 3$

Passaggio 2.8.2.2.1.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

3

$3$ .

a_{32} = 6 - 12

$a_{32} = 6 - 12$

a_{32} = 6 - 12

$a_{32} = 6 - 12$

Passaggio 2.8.2.2.2

Sottrai

12

$12$ da

6

$6$ .

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

Passaggio 2.9

Calcola il minore per l'elemento

a_{33}

$a_{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Il minore per

a_{33}

$a_{33}$ è il determinante con riga

3

$3$ e colonna

3

$3$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 4 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.9.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{33} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2

$a_{33} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2$

Passaggio 2.9.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1.1

Moltiplica

5

$5$ per

1

$1$ .

a_{33} = 5 - 4 \cdot 2

$a_{33} = 5 - 4 \cdot 2$

Passaggio 2.9.2.2.1.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

2

$2$ .

a_{33} = 5 - 8

$a_{33} = 5 - 8$

a_{33} = 5 - 8

$a_{33} = 5 - 8$

Passaggio 2.9.2.2.2

Sottrai

8

$8$ da

5

$5$ .

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

Passaggio 2.10

La matrice dei cofattori è una matrice dei minori con il segno cambiato per gli elementi nelle posizioni

-

$-$ sul grafico dei segni.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 6 & - 3 6 & - 12 & 6 - 3 & 6 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 6 & - 3 6 & - 12 & 6 - 3 & 6 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

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