Esempi

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - b - c a - b - c a - b + c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b - c \\ a - b + c \end{array}]$

Passaggio 1

La trasformazione definisce una mappa da

R^{3}

$ℝ^{3}$ a

R^{3}

$ℝ^{3}$ . Per dimostrare che la trasformazione è lineare, deve conservare la moltiplicazione e l'addizione scalari e il vettore zero.

R^{3} \to R^{3}

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Passaggio 2

Per prima cosa dimostra che la trasformazione conserva questa proprietà.

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Passaggio 3

Imposta due matrici per verificare che la proprietà di addizione venga mantenuta per

S

$S$ .

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} x_{2} x_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} y_{1} y_{2} y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Passaggio 4

Somma le due matrici.

S ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + y_{1} x_{2} + y_{2} x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 5

Applica la trasformazione al vettore.

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 6

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riordina

x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3})

$x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3})$ .

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 6.2

Riordina

x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3})

$x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3})$ .

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 6.3

Riordina

x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}

$x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 7

Suddividi il risultato in due matrici raggruppando le variabili.

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - x_{2} - x_{3} x_{1} - x_{2} - x_{3} x_{1} - x_{2} + x_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} y_{1} - y_{2} - y_{3} y_{1} - y_{2} - y_{3} y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 8

La proprietà additiva della trasformazione resta vera.

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Passaggio 9

Perché una trasformazione sia lineare, deve mantenere la moltiplicazione scalare.

S (p x) = T ⎛ ⎜ ⎝ p ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Passaggio 10

Scomponi la

p

$p$ da ciascun elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica

p

$p$ per ogni elemento nella matrice.

S (p x) = S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p a p b p c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Passaggio 10.2

Applica la trasformazione al vettore.

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} (p a) - (p b) - (p c) (p a) - (p b) - (p c) (p a) - (p b) + p c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

Passaggio 10.3

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Riordina

(p a) - (p b) - (p c)

$(p a) - (p b) - (p c)$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p - 1 b p - 1 c p (p a) - (p b) - (p c) (p a) - (p b) + p c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

Passaggio 10.3.2

Riordina

(p a) - (p b) - (p c)

$(p a) - (p b) - (p c)$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p - 1 b p - 1 c p a p - 1 b p - 1 c p (p a) - (p b) + p c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p - 1 c p \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

Passaggio 10.3.3

Riordina

(p a) - (p b) + p c

$(p a) - (p b) + p c$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p - 1 b p - 1 c p a p - 1 b p - 1 c p a p - 1 b p + c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p - 1 b p - 1 c p a p - 1 b p - 1 c p a p - 1 b p + c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

Passaggio 10.4

Scomponi ciascun elemento della matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Scomponi l'elemento

0, 0

$0, 0$ moltiplicando

a p - 1 b p - 1 c p

$a p - 1 b p - 1 c p$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - b - c) a p - 1 b p - 1 c p a p - 1 b p + c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

Passaggio 10.4.2

Scomponi l'elemento

1, 0

$1, 0$ moltiplicando

a p - 1 b p - 1 c p

$a p - 1 b p - 1 c p$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - b - c) p (a - b - c) a p - 1 b p + c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p (a - b - c) \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

Passaggio 10.4.3

Scomponi l'elemento

2, 0

$2, 0$ moltiplicando

a p - 1 b p + c p

$a p - 1 b p + c p$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - b - c) p (a - b - c) p (a - b + c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p (a - b - c) \\ p (a - b + c) \end{array}]$

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - b - c) p (a - b - c) p (a - b + c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p (a - b - c) \\ p (a - b + c) \end{array}]$

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - b - c) p (a - b - c) p (a - b + c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p (a - b - c) \\ p (a - b + c) \end{array}]$

Passaggio 11

In questa trasformazione, la seconda proprietà delle trasformazioni lineari viene conservata.

S ⎛ ⎜ ⎝ p ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = p S (x)

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Passaggio 12

Affinché la trasformazione sia lineare, il vettore zero deve essere conservato.

S (0) = 0

$S (0) = 0$

Passaggio 13

Applica la trasformazione al vettore.

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} (0) - (0) - (0) (0) - (0) - (0) (0) - (0) + 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

Passaggio 14

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Riordina

(0) - (0) - (0)

$(0) - (0) - (0)$ .

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 (0) - (0) - (0) (0) - (0) + 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

Passaggio 14.2

Riordina

(0) - (0) - (0)

$(0) - (0) - (0)$ .

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 00 (0) - (0) + 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

Passaggio 14.3

Riordina

(0) - (0) + 0

$(0) - (0) + 0$ .

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 000 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 000 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 15

Il vettore zero è preservato nella trasformazione.

S (0) = 0

$S (0) = 0$

Passaggio 16

Poiché non sono soddisfatte tutte e tre le proprietà delle trasformazioni lineari, non si tratta di una trasformazione lineare.

Trasformazione lineare

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