Esempi

{(z + 3)}^{3} = 2 i

${(z + 3)}^{3} = 2 i$

Passaggio 1

Sostituisci

z + 3

$z + 3$ per

u

$u$ .

u^{3} = 2 i

$u^{3} = 2 i$

Passaggio 2

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove

| z |

$| z |$ è il modulo e

θ

$θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 3

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove

z = a + b i

$z = a + b i$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi di

a = 0

$a = 0$ e

b = 2

$b = 2$ .

| z | = \sqrt{2^{2}}

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

| z | = 2

$| z | = 2$

Passaggio 6

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

θ = arctan (\frac{2}{0})

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Passaggio 7

Poiché l'argomento è indefinito e

b

$b$ è positivo, l'angolo del punto sul piano complesso è

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori di

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$ e

| z | = 2

$| z | = 2$ .

2 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}))

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 9

Sostituisci il lato destro dell'equazione con la forma trigonometrica.

u^{3} = 2 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}))

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 10

Utilizza la formula di de Moivre per determinare un'equazione per

u

$u$ .

r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}))

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 11

Fai equivalere il modulo della forma trigonometrica a

r^{3}

$r^{3}$ per trovare il valore di

r

$r$ .

r^{3} = 2

$r^{3} = 2$

Passaggio 12

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

r = \sqrt[3]{2}

$r = \sqrt[3]{2}$

Passaggio 13

Trova il valore approssimativo di

r

$r$ .

r = 1.25992104

$r = 1.25992104$

Passaggio 14

Trova i possibili valori di

θ

$θ$ .

c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ e

s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)

$s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Passaggio 15

Trovando tutti i possibili valori di

θ

$θ$ si ottiene l'equazione

3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Passaggio 16

Trova il valore di

θ

$θ$ per

r = 0

$r = 0$ .

3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Passaggio 17

Risolvi l'equazione per

θ

$θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Moltiplica

2 π (0)

$2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1.1

Moltiplica

0

$0$ per

2

$2$ .

3 θ = \frac{π}{2} + 0 π

$3 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Passaggio 17.1.1.2

Moltiplica

0

$0$ per

π

$π$ .

3 θ = \frac{π}{2} + 0

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

3 θ = \frac{π}{2} + 0

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

Passaggio 17.1.2

Somma

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ e

0

$0$ .

3 θ = \frac{π}{2}

$3 θ = \frac{π}{2}$

3 θ = \frac{π}{2}

$3 θ = \frac{π}{2}$

Passaggio 17.2

Dividi per

3

$3$ ciascun termine in

3 θ = \frac{π}{2}

$3 θ = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Dividi per

3

$3$ ciascun termine in

3 θ = \frac{π}{2}

$3 θ = \frac{π}{2}$ .

\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 17.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.1

Elimina il fattore comune di

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 17.2.2.1.2

Dividi

$θ$ per

$1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 17.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 17.2.3.2

Moltiplica

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.2.1

Moltiplica

$\frac{π}{2}$ per

$\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 17.2.3.2.2

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Passaggio 18

Utilizza i valori di

$θ$ e

$r$ per trovare una soluzione all'equazione

$u^{3} = 2 i$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 19

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1

Il valore esatto di

$\cos (\frac{π}{6})$ è

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 19.1.2

Il valore esatto di

$\sin (\frac{π}{6})$ è

$\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Passaggio 19.1.3

$i$ e

$\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Passaggio 19.2

Applica la proprietà distributiva.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Passaggio 19.3

Moltiplica

$1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1

$1.25992104$ e

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Passaggio 19.3.2

Moltiplica

$1.25992104$ per

$\sqrt{3}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Passaggio 19.4

$1.25992104$ e

$\frac{i}{2}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Passaggio 19.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.5.1

Dividi

$2.18224727$ per

$2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Passaggio 19.5.2

Scomponi

$1.25992104$ da

$1.25992104 i$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Passaggio 19.5.3

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Passaggio 19.5.4

Frazioni separate.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Passaggio 19.5.5

Dividi

$1.25992104$ per

$2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Passaggio 19.5.6

Dividi

$i$ per

$1$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

Passaggio 20

Sostituisci

$u$ per

$z + 3$ per calcolare il valore di

$z$ dopo lo shift a sinistra.

$z_{0} = - 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

Passaggio 21

Trova il valore di

$θ$ per

$r = 1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Passaggio 22

Risolvi l'equazione per

$θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.1

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 22.1.2

Per scrivere

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 22.1.3

$2 π$ e

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Passaggio 22.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Passaggio 22.1.5

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Passaggio 22.1.6

Somma

$π$ e

$4 π$ .

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

Passaggio 22.2

Dividi per

$3$ ciascun termine in

$3 θ = \frac{5 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1

Dividi per

$3$ ciascun termine in

$3 θ = \frac{5 π}{2}$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Passaggio 22.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Passaggio 22.2.2.1.2

Dividi

$θ$ per

$1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Passaggio 22.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 22.2.3.2

Moltiplica

$\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.3.2.1

Moltiplica

$\frac{5 π}{2}$ per

$\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 22.2.3.2.2

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 23

Utilizza i valori di

$θ$ e

$r$ per trovare una soluzione all'equazione

$u^{3} = 2 i$ .

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 24

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 24.1.2

Il valore esatto di

$\cos (\frac{π}{6})$ è

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 24.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 24.1.4

Il valore esatto di

$\sin (\frac{π}{6})$ è

$\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Passaggio 24.1.5

$i$ e

$\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Passaggio 24.2

Applica la proprietà distributiva.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Passaggio 24.3

Moltiplica

$1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.3.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1.25992104$ .

$u_{1} = - 1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Passaggio 24.3.2

$- 1.25992104$ e

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Passaggio 24.3.3

Moltiplica

$- 1.25992104$ per

$\sqrt{3}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Passaggio 24.4

$1.25992104$ e

$\frac{i}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Passaggio 24.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.5.1

Dividi

$- 2.18224727$ per

$2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Passaggio 24.5.2

Scomponi

$1.25992104$ da

$1.25992104 i$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Passaggio 24.5.3

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Passaggio 24.5.4

Frazioni separate.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Passaggio 24.5.5

Dividi

$1.25992104$ per

$2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Passaggio 24.5.6

Dividi

$i$ per

$1$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Passaggio 25

Sostituisci

$u$ per

$z + 3$ per calcolare il valore di

$z$ dopo lo shift a sinistra.

$z_{1} = - 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Passaggio 26

Trova il valore di

$θ$ per

$r = 2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Passaggio 27

Risolvi l'equazione per

$θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1.1

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Passaggio 27.1.2

Per scrivere

$4 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 27.1.3

$4 π$ e

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Passaggio 27.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Passaggio 27.1.5

Moltiplica

$2$ per

$4$ .

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Passaggio 27.1.6

Somma

$π$ e

$8 π$ .

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

Passaggio 27.2

Dividi per

$3$ ciascun termine in

$3 θ = \frac{9 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.1

Dividi per

$3$ ciascun termine in

$3 θ = \frac{9 π}{2}$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Passaggio 27.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Passaggio 27.2.2.1.2

Dividi

$θ$ per

$1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Passaggio 27.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 27.2.3.2

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.3.2.1

Scomponi

$3$ da

$9 π$ .

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 27.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 27.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 28

Utilizza i valori di

$θ$ e

$r$ per trovare una soluzione all'equazione

$u^{3} = 2 i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 29

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 29.1.2

Il valore esatto di

$\cos (\frac{π}{2})$ è

$0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 29.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 29.1.4

Il valore esatto di

$\sin (\frac{π}{2})$ è

$1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 29.1.5

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

Passaggio 29.1.6

Sposta

$- 1$ alla sinistra di

$i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

Passaggio 29.1.7

Riscrivi

$- 1 i$ come

$- i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

Passaggio 29.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.2.1

Sottrai

$i$ da

$0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

Passaggio 29.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1.25992104$ .

$u_{2} = - 1.25992104 i$

Passaggio 30

Sostituisci

$u$ per

$z + 3$ per calcolare il valore di

$z$ dopo lo shift a sinistra.

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

Passaggio 31

Queste sono le soluzioni complesse di

$u^{3} = 2 i$ .

$z_{0} = - 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{1} = - 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

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