Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

Passaggio 1

Fattorizza $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$1 + 4 + 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.5

Somma $1$ e $4$ .

$5 + 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.6

Somma $5$ e $1$ .

$6 - 6$

Passaggio 1.1.3.7

Sottrai $6$ da $6$ .

$0$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

Passaggio 1.1.5

Dividi $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ per $x - 1$ .

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Passaggio 1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

Passaggio 1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Passaggio 1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

Passaggio 1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Passaggio 1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Passaggio 1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

Passaggio 1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x - 6$

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

Passaggio 1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

Passaggio 1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 5 x + 6$

Passaggio 1.1.6

Scrivi $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ come insieme di fattori.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Passaggio 1.2

Scomponi $x^{2} + 5 x + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $x^{2} + 5 x + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $5$ .

$2, 3$

Passaggio 1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} + 5 x + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $5$ .

$2, 3$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 4.2

Dividi $x - 1$ per $1$ .

$f (x) = x - 1$

Passaggio 5

Per trovare gli spazi vuoti nel grafico, guarda i fattori dei denominatori che sono stati annullati.

$x + 2, x + 3$

Passaggio 6

Per trovare le coordinate degli spazi vuoti, imposta ogni fattore che è stato annullato uguale a $0$ , risolvi e inseriscilo nuovamente in $x - 1$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6.3

Sostituisci $x$ con $- 2$ in $x - 1$ e semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Sostituisci $x$ con $- 2$ per trovare la coordinata $y$ per lo spazio vuoto.

$- 2 - 1$

Passaggio 6.3.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$- 3$

Passaggio 6.4

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 6.5

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6.6

Sostituisci $x$ con $- 3$ in $x - 1$ e semplifica.

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Passaggio 6.6.1

Sostituisci $x$ con $- 3$ per trovare la coordinata $y$ per lo spazio vuoto.

$- 3 - 1$

Passaggio 6.6.2

Sottrai $1$ da $- 3$ .

$- 4$

Passaggio 6.7

Gli spazi vuoti nel grafico sono i punti in cui uno qualsiasi dei fattori annullati è uguale a $0$ .

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

Passaggio 7

Inserisci il TUO problema