Esempi

x - y = 4

$x - y = 4$ ,

4 x - y = - 5

$4 x - y = - 5$

Passaggio 1

Per determinare l'intersezione di una retta passante per il punto

(p, q, r)

$(p, q, r)$ e perpendicolare al piano

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ e al piano

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ :

1. Trova i vettori normali del piano

P_{1}

$P_{1}$ e del piano

P_{2}

$P_{2}$ , dove i vettori normali sono

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifica se il prodotto scalare è 0.

2. Crea una serie di equazioni parametriche tale che

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ e

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. Sostituisci queste equazioni nell'equazione del piano

P_{2}

$P_{2}$ in modo tale che

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ e risolvi per

t

$t$ .

4. usando il valore di

t

$t$ , risolvi le equazioni parametriche

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ e

z = r + c t

$z = r + c t$ per

t

$t$ per trovare l'intersezione

(x, y, z)

$(x, y, z)$ .

Passaggio 2

Trova i vettori normali per ciascun piano e determina se sono perpendicolari calcolando il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

P_{1}

$P_{1}$ è

x - y = 4

$x - y = 4$ . Calcola il vettore normale

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dall'equazione del piano della forma

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩$

Passaggio 2.2

P_{2}

$P_{2}$ è

4 x - y = - 5

$4 x - y = - 5$ . Calcola il vettore normale

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dall'equazione del piano della forma

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

Passaggio 2.3

Calcola il prodotto scalare di

n_{1}

$n_{1}$ e

n_{2}

$n_{2}$ sommando i prodotti dei corrispondenti valori

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ nei vettori normali.

1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4

Semplifica il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Rimuovi le parentesi.

1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica

4

$4$ per

1

$1$ .

4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

4 + 1 + 0 \cdot 0

$4 + 1 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4.2.3

Moltiplica

0

$0$ per

0

$0$ .

4 + 1 + 0

$4 + 1 + 0$

4 + 1 + 0

$4 + 1 + 0$

Passaggio 2.4.3

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Somma

4

$4$ e

1

$1$ .

5 + 0

$5 + 0$

Passaggio 2.4.3.2

Somma

5

$5$ e

0

$0$ .

5

$5$

5

$5$

5

$5$

5

$5$

Passaggio 3

Quindi costruisci una serie di equazioni parametriche

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ e

z = r + c t

$z = r + c t$ usando l'origine

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ per il punto

(p, q, r)

$(p, q, r)$ e i valori del vettore normale

5

$5$ per i valori di

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ . Questa serie di equazioni parametriche rappresenta la retta attraverso l'origine perpendicolare a

P_{1}

$P_{1}$

x - y = 4

$x - y = 4$ .

x = 0 + 1 \cdot t

$x = 0 + 1 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

Passaggio 4

Sostituisci l'espressione a

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ nell'equazione per

P_{2}

$P_{2}$

4 x - y = - 5

$4 x - y = - 5$ .

4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per

t

$t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica

4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Combina i termini opposti in

4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Somma

0

$0$ e

1 \cdot t

$1 \cdot t$ .

4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5

$4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

Passaggio 5.1.1.2

Sottrai

1 \cdot t

$1 \cdot t$ da

0

$0$ .

4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

Passaggio 5.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Moltiplica

t

$t$ per

1

$1$ .

4 t - (- 1 \cdot t) = - 5

$4 t - (- 1 \cdot t) = - 5$

Passaggio 5.1.2.2

Riscrivi

- 1 t

$- 1 t$ come

- t

$- t$ .

4 t - - t = - 5

$4 t - - t = - 5$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica

- - t

$- - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.3.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

4 t + 1 t = - 5

$4 t + 1 t = - 5$

Passaggio 5.1.2.3.2

Moltiplica

t

$t$ per

1

$1$ .

4 t + t = - 5

$4 t + t = - 5$

4 t + t = - 5

$4 t + t = - 5$

4 t + t = - 5

$4 t + t = - 5$

Passaggio 5.1.3

Somma

4 t

$4 t$ e

t

$t$ .

5 t = - 5

$5 t = - 5$

5 t = - 5

$5 t = - 5$

Passaggio 5.2

Dividi per

5

$5$ ciascun termine in

5 t = - 5

$5 t = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per

5

$5$ ciascun termine in

5 t = - 5

$5 t = - 5$ .

\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di

5

$5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi

t

$t$ per

1

$1$ .

t = \frac{- 5}{5}

$t = \frac{- 5}{5}$

t = \frac{- 5}{5}

$t = \frac{- 5}{5}$

t = \frac{- 5}{5}

$t = \frac{- 5}{5}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi

- 5

$- 5$ per

5

$5$ .

t = - 1

$t = - 1$

t = - 1

$t = - 1$

t = - 1

$t = - 1$

t = - 1

$t = - 1$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione parametrica per

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ usando il valore di

t

$t$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Risolvi l'equazione per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Rimuovi le parentesi.

x = 0 + 1 \cdot (- 1)

$x = 0 + 1 \cdot (- 1)$

Passaggio 6.1.2

Semplifica

0 + 1 \cdot (- 1)

$0 + 1 \cdot (- 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

x = 0 - 1

$x = 0 - 1$

Passaggio 6.1.2.2

Sottrai

1

$1$ da

0

$0$ .

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

Passaggio 6.2

Risolvi l'equazione per

y

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi le parentesi.

y = 0 - 1 \cdot - 1

$y = 0 - 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.2

Semplifica

0 - 1 \cdot - 1

$0 - 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

y = 0 + 1

$y = 0 + 1$

Passaggio 6.2.2.2

Somma

0

$0$ e

1

$1$ .

y = 1

$y = 1$

y = 1

$y = 1$

y = 1

$y = 1$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per

z

$z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Rimuovi le parentesi.

z = 0 + 0 \cdot (- 1)

$z = 0 + 0 \cdot (- 1)$

Passaggio 6.3.2

Semplifica

0 + 0 \cdot (- 1)

$0 + 0 \cdot (- 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

z = 0 + 0

$z = 0 + 0$

Passaggio 6.3.2.2

Somma

0

$0$ e

0

$0$ .

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

Passaggio 6.4

Le equazioni parametriche risolte per

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ .

x = - 1

$x = - 1$

y = 1

$y = 1$

z = 0

$z = 0$

x = - 1

$x = - 1$

y = 1

$y = 1$

z = 0

$z = 0$

Passaggio 7

Usando i valori calcolati per

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ , il punto di intersezione risulta essere

(- 1, 1, 0)

$(- 1, 1, 0)$ .

(- 1, 1, 0)

$(- 1, 1, 0)$

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