Algebra lineare Esempi

$a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova il prodotto scalare.

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Passaggio 1.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

Passaggio 1.2.2

Somma $2$ e $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2$

Passaggio 1.2.3

Somma $8$ e $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

Passaggio 2

Trova la norma di $b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ .

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Passaggio 2.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}$

Passaggio 2.2.4

Somma $1$ e $4$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}$

Passaggio 2.2.5

Somma $5$ e $1$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

Passaggio 3

Trova la proiezione di $a⃗$ su $b⃗$ utilizzando la formula della proiezione.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Passaggio 4

Sostituisci $10$ a $a⃗ \cdot b⃗$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Passaggio 5

Sostituisci $\sqrt{6}$ a $| | b⃗ | |$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗$

Passaggio 6

Sostituisci $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ a $b⃗$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.1

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

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Passaggio 7.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 7.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 7.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 7.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.1.4.1

Elimina il fattore comune.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 7.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 7.1.5

Calcola l'esponente.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $10$ e $6$ .

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per ogni elemento della matrice.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.4

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $\frac{5}{3} \cdot 2$ .

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Passaggio 7.4.2.1

$\frac{5}{3}$ e $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.4.2.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.4.3

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

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