Algebra lineare Esempi
a=[232]a=[232] , b=[121]b=[121]
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.
a⃗⋅b⃗=2⋅1+3⋅2+2⋅1a⃗⋅b⃗=2⋅1+3⋅2+2⋅1
Passaggio 1.2
Semplifica.
Passaggio 1.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 1.2.1.1
Moltiplica 22 per 11.
a⃗⋅b⃗=2+3⋅2+2⋅1a⃗⋅b⃗=2+3⋅2+2⋅1
Passaggio 1.2.1.2
Moltiplica 33 per 22.
a⃗⋅b⃗=2+6+2⋅1a⃗⋅b⃗=2+6+2⋅1
Passaggio 1.2.1.3
Moltiplica 22 per 11.
a⃗⋅b⃗=2+6+2a⃗⋅b⃗=2+6+2
a⃗⋅b⃗=2+6+2a⃗⋅b⃗=2+6+2
Passaggio 1.2.2
Somma 22 e 66.
a⃗⋅b⃗=8+2a⃗⋅b⃗=8+2
Passaggio 1.2.3
Somma 88 e 22.
a⃗⋅b⃗=10a⃗⋅b⃗=10
a⃗⋅b⃗=10a⃗⋅b⃗=10
a⃗⋅b⃗=10a⃗⋅b⃗=10
Passaggio 2
Passaggio 2.1
La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.
||b⃗||=√12+22+12||b⃗||=√12+22+12
Passaggio 2.2
Semplifica.
Passaggio 2.2.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
||b⃗||=√1+22+12||b⃗||=√1+22+12
Passaggio 2.2.2
Eleva 22 alla potenza di 22.
||b⃗||=√1+4+12||b⃗||=√1+4+12
Passaggio 2.2.3
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
||b⃗||=√1+4+1||b⃗||=√1+4+1
Passaggio 2.2.4
Somma 11 e 44.
||b⃗||=√5+1||b⃗||=√5+1
Passaggio 2.2.5
Somma 55 e 11.
||b⃗||=√6||b⃗||=√6
||b⃗||=√6||b⃗||=√6
||b⃗||=√6||b⃗||=√6
Passaggio 3
Trova la proiezione di a⃗a⃗ su b⃗ utilizzando la formula della proiezione.
projb⃗(a⃗)=a⃗⋅b⃗||b⃗||2×b⃗
Passaggio 4
Sostituisci 10 a a⃗⋅b⃗.
projb⃗(a⃗)=10||b⃗||2×b⃗
Passaggio 5
Sostituisci √6 a ||b⃗||.
projb⃗(a⃗)=10√62×b⃗
Passaggio 6
Sostituisci [121] a b⃗.
projb⃗(a⃗)=10√62×[121]
Passaggio 7
Passaggio 7.1
Riscrivi √62 come 6.
Passaggio 7.1.1
Usa n√ax=axn per riscrivere √6 come 612.
projb⃗(a⃗)=10(612)2×[121]
Passaggio 7.1.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, (am)n=amn.
projb⃗(a⃗)=10612⋅2×[121]
Passaggio 7.1.3
12 e 2.
projb⃗(a⃗)=10622×[121]
Passaggio 7.1.4
Elimina il fattore comune di 2.
Passaggio 7.1.4.1
Elimina il fattore comune.
projb⃗(a⃗)=10622×[121]
Passaggio 7.1.4.2
Riscrivi l'espressione.
projb⃗(a⃗)=1061×[121]
projb⃗(a⃗)=1061×[121]
Passaggio 7.1.5
Calcola l'esponente.
projb⃗(a⃗)=106×[121]
projb⃗(a⃗)=106×[121]
Passaggio 7.2
Elimina il fattore comune di 10 e 6.
Passaggio 7.2.1
Scomponi 2 da 10.
projb⃗(a⃗)=2(5)6×[121]
Passaggio 7.2.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 7.2.2.1
Scomponi 2 da 6.
projb⃗(a⃗)=2⋅52⋅3×[121]
Passaggio 7.2.2.2
Elimina il fattore comune.
projb⃗(a⃗)=2⋅52⋅3×[121]
Passaggio 7.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
projb⃗(a⃗)=53×[121]
projb⃗(a⃗)=53×[121]
projb⃗(a⃗)=53×[121]
Passaggio 7.3
Moltiplica 53 per ogni elemento della matrice.
projb⃗(a⃗)=[53⋅153⋅253⋅1]
Passaggio 7.4
Semplifica ogni elemento nella matrice.
Passaggio 7.4.1
Moltiplica 53 per 1.
projb⃗(a⃗)=[5353⋅253⋅1]
Passaggio 7.4.2
Moltiplica 53⋅2.
Passaggio 7.4.2.1
53 e 2.
projb⃗(a⃗)=[535⋅2353⋅1]
Passaggio 7.4.2.2
Moltiplica 5 per 2.
projb⃗(a⃗)=[5310353⋅1]
projb⃗(a⃗)=[5310353⋅1]
Passaggio 7.4.3
Moltiplica 53 per 1.
projb⃗(a⃗)=[5310353]
projb⃗(a⃗)=[5310353]
projb⃗(a⃗)=[5310353]