Algebra lineare Esempi

a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ ,

b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]

$b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Moltiplica

1

$1$ per

1

$1$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica

0

$0$ per

1

$1$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

Passaggio 1.2.1.3

Moltiplica

3

$3$ per

1

$1$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

Passaggio 1.2.2

Somma

1

$1$ e

0

$0$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

Passaggio 1.2.3

Somma

1

$1$ e

3

$3$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

Passaggio 2

Trova la norma di

a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

$a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Eleva

3

$3$ alla potenza di

2

$2$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

Passaggio 2.2.4

Somma

1

$1$ e

0

$0$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

Passaggio 2.2.5

Somma

1

$1$ e

9

$9$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

Passaggio 3

Trova la proiezione di

b⃗

$b⃗$ su

a⃗

$a⃗$ utilizzando la formula della proiezione.

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Passaggio 4

Sostituisci

4

$4$ a

b⃗ \cdot a⃗

$b⃗ \cdot a⃗$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Passaggio 5

Sostituisci

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ a

| | a⃗ | |

$| | a⃗ | |$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

Passaggio 6

Sostituisci

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ a

a⃗

$a⃗$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi

{\sqrt{10}}^{2}

${\sqrt{10}}^{2}$ come

10

$10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ come

10^{\frac{1}{2}}

$10^{\frac{1}{2}}$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.1.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.1.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Elimina il fattore comune.

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.1.5

Calcola l'esponente.

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di

4

$4$ e

10

$10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi

2

$2$ da

4

$4$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi

2

$2$ da

10

$10$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.3

Moltiplica

\frac{2}{5}

$\frac{2}{5}$ per ogni elemento della matrice.

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.4

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica

\frac{2}{5}

$\frac{2}{5}$ per

1

$1$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica

\frac{2}{5}

$\frac{2}{5}$ per

0

$0$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.4.3

Moltiplica

\frac{2}{5} \cdot 3

$\frac{2}{5} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.1

\frac{2}{5}

$\frac{2}{5}$ e

3

$3$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

Passaggio 7.4.3.2

Moltiplica

2

$2$ per

3

$3$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

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