Algebra lineare Esempi

Trova la proiezione di a su b
a=[232]a=[232] , b=[121]b=[121]
Passaggio 1
Trova il prodotto scalare.
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Passaggio 1.1
Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.
a⃗b⃗=21+32+21a⃗b⃗=21+32+21
Passaggio 1.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1.1
Moltiplica 22 per 11.
a⃗b⃗=2+32+21a⃗b⃗=2+32+21
Passaggio 1.2.1.2
Moltiplica 33 per 22.
a⃗b⃗=2+6+21a⃗b⃗=2+6+21
Passaggio 1.2.1.3
Moltiplica 22 per 11.
a⃗b⃗=2+6+2a⃗b⃗=2+6+2
a⃗b⃗=2+6+2a⃗b⃗=2+6+2
Passaggio 1.2.2
Somma 22 e 66.
a⃗b⃗=8+2a⃗b⃗=8+2
Passaggio 1.2.3
Somma 88 e 22.
a⃗b⃗=10a⃗b⃗=10
a⃗b⃗=10a⃗b⃗=10
a⃗b⃗=10a⃗b⃗=10
Passaggio 2
Trova la norma di b⃗=[121]b⃗=[121].
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Passaggio 2.1
La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.
||b⃗||=12+22+12||b⃗||=12+22+12
Passaggio 2.2
Semplifica.
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Passaggio 2.2.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
||b⃗||=1+22+12||b⃗||=1+22+12
Passaggio 2.2.2
Eleva 22 alla potenza di 22.
||b⃗||=1+4+12||b⃗||=1+4+12
Passaggio 2.2.3
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
||b⃗||=1+4+1||b⃗||=1+4+1
Passaggio 2.2.4
Somma 11 e 44.
||b⃗||=5+1||b⃗||=5+1
Passaggio 2.2.5
Somma 55 e 11.
||b⃗||=6||b⃗||=6
||b⃗||=6||b⃗||=6
||b⃗||=6||b⃗||=6
Passaggio 3
Trova la proiezione di a⃗a⃗ su b⃗ utilizzando la formula della proiezione.
projb⃗(a⃗)=a⃗b⃗||b⃗||2×b⃗
Passaggio 4
Sostituisci 10 a a⃗b⃗.
projb⃗(a⃗)=10||b⃗||2×b⃗
Passaggio 5
Sostituisci 6 a ||b⃗||.
projb⃗(a⃗)=1062×b⃗
Passaggio 6
Sostituisci [121] a b⃗.
projb⃗(a⃗)=1062×[121]
Passaggio 7
Semplifica il lato destro.
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Passaggio 7.1
Riscrivi 62 come 6.
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Passaggio 7.1.1
Usa nax=axn per riscrivere 6 come 612.
projb⃗(a⃗)=10(612)2×[121]
Passaggio 7.1.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, (am)n=amn.
projb⃗(a⃗)=106122×[121]
Passaggio 7.1.3
12 e 2.
projb⃗(a⃗)=10622×[121]
Passaggio 7.1.4
Elimina il fattore comune di 2.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.4.1
Elimina il fattore comune.
projb⃗(a⃗)=10622×[121]
Passaggio 7.1.4.2
Riscrivi l'espressione.
projb⃗(a⃗)=1061×[121]
projb⃗(a⃗)=1061×[121]
Passaggio 7.1.5
Calcola l'esponente.
projb⃗(a⃗)=106×[121]
projb⃗(a⃗)=106×[121]
Passaggio 7.2
Elimina il fattore comune di 10 e 6.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.1
Scomponi 2 da 10.
projb⃗(a⃗)=2(5)6×[121]
Passaggio 7.2.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.2.1
Scomponi 2 da 6.
projb⃗(a⃗)=2523×[121]
Passaggio 7.2.2.2
Elimina il fattore comune.
projb⃗(a⃗)=2523×[121]
Passaggio 7.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
projb⃗(a⃗)=53×[121]
projb⃗(a⃗)=53×[121]
projb⃗(a⃗)=53×[121]
Passaggio 7.3
Moltiplica 53 per ogni elemento della matrice.
projb⃗(a⃗)=[531532531]
Passaggio 7.4
Semplifica ogni elemento nella matrice.
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Passaggio 7.4.1
Moltiplica 53 per 1.
projb⃗(a⃗)=[53532531]
Passaggio 7.4.2
Moltiplica 532.
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Passaggio 7.4.2.1
53 e 2.
projb⃗(a⃗)=[53523531]
Passaggio 7.4.2.2
Moltiplica 5 per 2.
projb⃗(a⃗)=[53103531]
projb⃗(a⃗)=[53103531]
Passaggio 7.4.3
Moltiplica 53 per 1.
projb⃗(a⃗)=[5310353]
projb⃗(a⃗)=[5310353]
projb⃗(a⃗)=[5310353]
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