Algebra lineare Esempi

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova il prodotto scalare.

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Passaggio 1.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

Passaggio 1.2.1.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

Passaggio 1.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

Passaggio 1.2.3

Somma $1$ e $3$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

Passaggio 2

Trova la norma di $a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

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Passaggio 2.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

Passaggio 2.2.4

Somma $1$ e $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

Passaggio 2.2.5

Somma $1$ e $9$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

Passaggio 3

Trova la proiezione di $b⃗$ su $a⃗$ utilizzando la formula della proiezione.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Passaggio 4

Sostituisci $4$ a $b⃗ \cdot a⃗$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Passaggio 5

Sostituisci $\sqrt{10}$ a $| | a⃗ | |$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

Passaggio 6

Sostituisci $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ a $a⃗$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.1

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{2}$ come $10$ .

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Passaggio 7.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{10}$ come $10^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.1.4.1

Elimina il fattore comune.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.1.5

Calcola l'esponente.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $10$ .

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per ogni elemento della matrice.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.4

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $1$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $0$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 7.4.3

Moltiplica $\frac{2}{5} \cdot 3$ .

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Passaggio 7.4.3.1

$\frac{2}{5}$ e $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

Passaggio 7.4.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

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