Algebra lineare Esempi

[\begin{matrix} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ ,

[\begin{matrix} 0 & 1 & 2 - i \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$

Passaggio 1

La distanza tra due vettori

u⃗

$u⃗$ e

v⃗

$v⃗$ in

C^{n}

$ℂ^{n}$ è definita come

| | u⃗ - v⃗ | |

$| | u⃗ - v⃗ | |$ , ovvero la norma euclidea della differenza

u⃗ - v⃗

$u⃗ - v⃗$ .

d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{| {u⃗}_{1} - {v⃗}_{1} |}^{2} + {| {u⃗}_{2} - {v⃗}_{2} |}^{2} + \dots + {| {u⃗}_{n} - {v⃗}_{n} |}^{2}}

$d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{| {u⃗}_{1} - {v⃗}_{1} |}^{2} + {| {u⃗}_{2} - {v⃗}_{2} |}^{2} + \dots + {| {u⃗}_{n} - {v⃗}_{n} |}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la norma della differenza

u⃗ - v⃗

$u⃗ - v⃗$ , dove

u⃗ = [\begin{matrix} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{matrix}]

$u⃗ = [\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ e

v⃗ = [\begin{matrix} 0 & 1 & 2 - i \end{matrix}]

$v⃗ = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un vettore della differenza.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 i - 3 - 0 0 - 1 2 - (2 - i) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 - 0 \\ 0 - 1 \\ 2 - (2 - i) \end{array}]$

Passaggio 2.2

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

\sqrt{{| 2 i - 3 - 0 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{| 2 i - 3 - 0 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai

0

$0$ da

2 i - 3

$2 i - 3$ .

\sqrt{{| 2 i - 3 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{| 2 i - 3 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Rimetti in ordine i termini.

\sqrt{{| - 3 + 2 i |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{| - 3 + 2 i |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Usa la formula

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ per calcolare la grandezza.

\sqrt{{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Eleva

- 3

$- 3$ alla potenza di

2

$2$ .

\sqrt{{\sqrt{9 + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{9 + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Eleva

2

$2$ alla potenza di

2

$2$ .

\sqrt{{\sqrt{9 + 4}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{9 + 4}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Somma

9

$9$ e

4

$4$ .

\sqrt{{\sqrt{13}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{13}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Riscrivi

{\sqrt{13}}^{2}

${\sqrt{13}}^{2}$ come

13

$13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{13}

$\sqrt{13}$ come

13^{\frac{1}{2}}

$13^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.7.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.7.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{13^{1} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.7.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{13 + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.8

Sottrai

$1$ da

$0$ .

$\sqrt{13 + {(- 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.9

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 1 \cdot 2 - - i |}^{2}}$

Passaggio 2.3.10.2

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 - - i |}^{2}}$

Passaggio 2.3.10.3

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + 1 i |}^{2}}$

Passaggio 2.3.10.4

Moltiplica

$i$ per

$1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + i |}^{2}}$

Passaggio 2.3.11

Sottrai

$2$ da

$2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 0 + i |}^{2}}$

Passaggio 2.3.12

Somma

$0$ e

$i$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| i |}^{2}}$

Passaggio 2.3.13

Usa la formula

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ per calcolare la grandezza.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0^{2} + 1^{2}}}^{2}}$

Passaggio 2.3.14

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1^{2}}}^{2}}$

Passaggio 2.3.15

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1}}^{2}}$

Passaggio 2.3.16

Somma

$0$ e

$1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{1}}^{2}}$

Passaggio 2.3.17

Qualsiasi radice di

$1$ è

$1$ .

$\sqrt{13 + 1 + 1^{2}}$

Passaggio 2.3.18

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{13 + 1 + 1}$

Passaggio 2.3.19

Somma

$13$ e

$1$ .

$\sqrt{14 + 1}$

Passaggio 2.3.20

Somma

$14$ e

$1$ .

$\sqrt{15}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\sqrt{15}$

Forma decimale:

$3.87298334 \dots$

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