Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$

Passaggio 1

La distanza tra due vettori $u⃗$ e $v⃗$ in $ℂ^{n}$ è definita come $| | u⃗ - v⃗ | |$ , ovvero la norma euclidea della differenza $u⃗ - v⃗$ .

$d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{| {u⃗}_{1} - {v⃗}_{1} |}^{2} + {| {u⃗}_{2} - {v⃗}_{2} |}^{2} + \dots + {| {u⃗}_{n} - {v⃗}_{n} |}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la norma della differenza $u⃗ - v⃗$ , dove $u⃗ = [\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ e $v⃗ = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un vettore della differenza.

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 - 0 \\ 0 - 1 \\ 2 - (2 - i) \end{array}]$

Passaggio 2.2

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$\sqrt{{| 2 i - 3 - 0 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Sottrai $0$ da $2 i - 3$ .

$\sqrt{{| 2 i - 3 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Rimetti in ordine i termini.

$\sqrt{{| - 3 + 2 i |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Usa la formula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ per calcolare la grandezza.

$\sqrt{{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 4}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Somma $9$ e $4$ .

$\sqrt{{\sqrt{13}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Riscrivi ${\sqrt{13}}^{2}$ come $13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{13}$ come $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{13^{1} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.7.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{13 + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.8

Sottrai $1$ da $0$ .

$\sqrt{13 + {(- 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Passaggio 2.3.10

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 1 \cdot 2 - - i |}^{2}}$

Passaggio 2.3.10.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 - - i |}^{2}}$

Passaggio 2.3.10.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + 1 i |}^{2}}$

Passaggio 2.3.10.4

Moltiplica $i$ per $1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + i |}^{2}}$

Passaggio 2.3.11

Sottrai $2$ da $2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 0 + i |}^{2}}$

Passaggio 2.3.12

Somma $0$ e $i$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| i |}^{2}}$

Passaggio 2.3.13

Usa la formula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ per calcolare la grandezza.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0^{2} + 1^{2}}}^{2}}$

Passaggio 2.3.14

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1^{2}}}^{2}}$

Passaggio 2.3.15

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1}}^{2}}$

Passaggio 2.3.16

Somma $0$ e $1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{1}}^{2}}$

Passaggio 2.3.17

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sqrt{13 + 1 + 1^{2}}$

Passaggio 2.3.18

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{13 + 1 + 1}$

Passaggio 2.3.19

Somma $13$ e $1$ .

$\sqrt{14 + 1}$

Passaggio 2.3.20

Somma $14$ e $1$ .

$\sqrt{15}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\sqrt{15}$

Forma decimale:

$3.87298334 \dots$

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