Algebra lineare Esempi

[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}]$

Passaggio 1

Il prodotto incrociato di due vettori

a⃗

$a⃗$ e

b⃗

$b⃗$ può essere scritto come determinante con i vettori unitari standard da

ℝ^{3}

$ℝ^{3}$ e gli elementi dei vettori dati.

a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Passaggio 2

Imposta il determinante con i valori dati.

| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 7 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 7 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \end{array} |$

Passaggio 3

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

0

$0$ . Se non ci sono elementi

0

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga

1

$1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 3.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

-

$-$ .

Passaggio 3.3

Il minore per

a_{11}

$a_{11}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

1

$1$ eliminate.

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Passaggio 3.4

Moltiplica l'elemento

a_{11}

$a_{11}$ per il suo cofattore.

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î$

Passaggio 3.5

Il minore per

a_{12}

$a_{12}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

2

$2$ eliminate.

| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$

Passaggio 3.6

Moltiplica l'elemento

a_{12}

$a_{12}$ per il suo cofattore.

- | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ

$- | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ$

Passaggio 3.7

Il minore per

a_{13}

$a_{13}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

3

$3$ eliminate.

| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$

Passaggio 3.8

Moltiplica l'elemento

a_{13}

$a_{13}$ per il suo cofattore.

| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 3.9

Somma i termini.

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 4

Calcola

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

(- 7 \cdot 4 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$(- 7 \cdot 4 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica

- 7

$- 7$ per

4

$4$ .

(- 28 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$(- 28 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

1

$1$ .

(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 4.2.2

Sottrai

2

$2$ da

- 28

$- 28$ .

- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 5

Calcola

| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 30 î - (1 \cdot 4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - (1 \cdot 4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica

4

$4$ per

1

$1$ .

- 30 î - (4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - (4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica

- 5

$- 5$ per

1

$1$ .

- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 5.2.2

Sottrai

5

$5$ da

4

$4$ .

- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 6

Calcola

| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 30 î - - 1 ĵ + (1 \cdot 2 - 5 \cdot - 7) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (1 \cdot 2 - 5 \cdot - 7) k̂$

Passaggio 6.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

- 30 î - - 1 ĵ + (2 - 5 \cdot - 7) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 - 5 \cdot - 7) k̂$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica

- 5

$- 5$ per

- 7

$- 7$ .

- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂$

Passaggio 6.2.2

Somma

2

$2$ e

35

$35$ .

- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

Passaggio 7

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

- 30 î + 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î + 1 ĵ + 37 k̂$

Passaggio 8

Riscrivi la risposta.

[\begin{array}{c} - 30 \\ 1 \\ 37 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 30 \\ 1 \\ 37 \end{array}]$

Inserisci il TUO problema