Algebra lineare Esempi

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 1 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ \times ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 5 - 3 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Il prodotto incrociato di due vettori

a⃗

$a⃗$ e

b⃗

$b⃗$ può essere scritto come determinante con i vettori unitari standard da

$ℝ^{3}$ e gli elementi dei vettori dati.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Passaggio 2

Imposta il determinante con i valori dati.

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & - 1 & 1 \\ 5 & - 3 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

$0$ . Se non ci sono elementi

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga

$1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 3.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

$-$ .

Passaggio 3.3

Il minore per

$a_{11}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.4

Moltiplica l'elemento

$a_{11}$ per il suo cofattore.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î$

Passaggio 3.5

Il minore per

$a_{12}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.6

Moltiplica l'elemento

$a_{12}$ per il suo cofattore.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ$

Passaggio 3.7

Il minore per

$a_{13}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 3.8

Moltiplica l'elemento

$a_{13}$ per il suo cofattore.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 3.9

Somma i termini.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 4

Calcola

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(- 1 \cdot 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$(- 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica

$- (- 3 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica

$- 3$ per

$1$ .

$(- 1 - - 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 3$ .

$(- 1 + 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 4.2.2

Somma

$- 1$ e

$3$ .

$2 î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 5

Calcola

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 î - (2 \cdot 1 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$2 î - (2 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica

$- 5$ per

$1$ .

$2 î - (2 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 5.2.2

Sottrai

$5$ da

$2$ .

$2 î - - 3 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 6

Calcola

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 î - - 3 ĵ + (2 \cdot - 3 - 5 \cdot - 1) k̂$

Passaggio 6.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica

$2$ per

$- 3$ .

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 - 5 \cdot - 1) k̂$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica

$- 5$ per

$- 1$ .

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 + 5) k̂$

Passaggio 6.2.2

Somma

$- 6$ e

$5$ .

$2 î - - 3 ĵ - k̂$

Passaggio 7

Moltiplica

$- 1$ per

$- 3$ .

$2 î + 3 ĵ - k̂$

Passaggio 8

Riscrivi la risposta.

$[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array}]$

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