Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}]$

Passaggio 1

Il prodotto incrociato di due vettori $a⃗$ e $b⃗$ può essere scritto come determinante con i vettori unitari standard da $ℝ^{3}$ e gli elementi dei vettori dati.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Passaggio 2

Imposta il determinante con i valori dati.

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 7 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \end{array} |$

Passaggio 3

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga $1$ per il proprio cofattore e somma.

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Passaggio 3.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 3.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 3.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Passaggio 3.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î$

Passaggio 3.5

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$

Passaggio 3.6

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$- | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ$

Passaggio 3.7

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$

Passaggio 3.8

Moltiplica l'elemento $a_{13}$ per il suo cofattore.

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 3.9

Somma i termini.

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(- 7 \cdot 4 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 7$ per $4$ .

$(- 28 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $2$ da $- 28$ .

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 5

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$ .

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Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 30 î - (1 \cdot 4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 30 î - (4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Passaggio 6

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$ .

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Passaggio 6.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + (1 \cdot 2 - 5 \cdot - 7) k̂$

Passaggio 6.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 - 5 \cdot - 7) k̂$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $- 7$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂$

Passaggio 6.2.2

Somma $2$ e $35$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

Passaggio 7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 30 î + 1 ĵ + 37 k̂$

Passaggio 8

Riscrivi la risposta.

$[\begin{array}{c} - 30 \\ 1 \\ 37 \end{array}]$

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