Algebra lineare Esempi

(1, - 2)

$(1, - 2)$ ,

(- 2, 1)

$(- 2, 1)$

Passaggio 1

Usa la formula del prodotto scalare per trovare l'angolo tra i due vettori.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Trova il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 - 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 - 2 \cdot 1$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2$

Passaggio 2.2.2

Sottrai

2

$2$ da

- 2

$- 2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 4

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

a⃗ \cdot b⃗ = - 4

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

a⃗ \cdot b⃗ = - 4

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

Passaggio 3

Trova la grandezza di

a⃗

$a⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva

- 2

$- 2$ alla potenza di

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Passaggio 3.2.3

Somma

1

$1$ e

4

$4$ .

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di

b⃗

$b⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva

- 2

$- 2$ alla potenza di

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Passaggio 4.2.3

Somma

4

$4$ e

1

$1$ .

| b⃗ | = \sqrt{5}

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

| b⃗ | = \sqrt{5}

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

| b⃗ | = \sqrt{5}

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

θ = arccos (\frac{- 4}{\sqrt{5} \sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Eleva

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ alla potenza di

1

$1$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Passaggio 6.1.2

Eleva

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ alla potenza di

1

$1$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Passaggio 6.1.3

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.1.4

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Passaggio 6.2

Riscrivi

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ come

5

$5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ come

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{- 4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.2.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.2.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{1}})$

Passaggio 6.2.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5})$

Passaggio 6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$θ = \arccos (- \frac{4}{5})$

Passaggio 6.4

Calcola

$\arccos (- \frac{4}{5})$ .

$θ = 143.13010235$

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