Algebra lineare Esempi

$(1, - 2)$ , $(- 2, 1)$

Passaggio 1

Usa la formula del prodotto scalare per trovare l'angolo tra i due vettori.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Trova il prodotto scalare.

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Passaggio 2.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 - 2 \cdot 1$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

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Passaggio 3.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Passaggio 3.2.3

Somma $1$ e $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

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Passaggio 4.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Passaggio 4.2.3

Somma $4$ e $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.1

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Passaggio 6.1.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Passaggio 6.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Passaggio 6.2

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

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Passaggio 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{1}})$

Passaggio 6.2.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5})$

Passaggio 6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$θ = \arccos (- \frac{4}{5})$

Passaggio 6.4

Calcola $\arccos (- \frac{4}{5})$ .

$θ = 143.13010235$

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