Algebra lineare Esempi

$(1, - 1, 2)$ , $(0, 3, 1)$

Passaggio 1

Usa la formula del prodotto vettoriale per trovare l'angolo tra i due vettori.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Trova il prodotto vettoriale.

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Passaggio 2.1

Il prodotto incrociato di due vettori $a⃗$ e $b⃗$ può essere scritto come determinante con i vettori unitari standard da $ℝ^{3}$ e gli elementi dei vettori dati.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Passaggio 2.2

Imposta il determinante con i valori dati.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.3

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga $1$ per il proprio cofattore e somma.

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Passaggio 2.3.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 2.3.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î$

Passaggio 2.3.5

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$- | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ$

Passaggio 2.3.7

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica l'elemento $a_{13}$ per il suo cofattore.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.3.9

Somma i termini.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

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Passaggio 2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $6$ da $- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.5

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

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Passaggio 2.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $0$ per $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.6

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$ .

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Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Passaggio 2.6.2.1.2

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

Passaggio 2.6.2.2

Somma $3$ e $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂$

Passaggio 2.8

Riscrivi la risposta.

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

Passaggio 3

Trova la grandezza del prodotto vettoriale.

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Passaggio 3.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $- 7$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}$

Passaggio 3.2.4

Somma $49$ e $1$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}$

Passaggio 3.2.5

Somma $50$ e $9$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $a⃗$ .

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Passaggio 4.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}$

Passaggio 4.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}$

Passaggio 4.2.5

Somma $2$ e $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

Passaggio 5

Trova la grandezza di $b⃗$ .

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Passaggio 5.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}$

Passaggio 5.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}$

Passaggio 5.2.4

Somma $0$ e $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Passaggio 5.2.5

Somma $9$ e $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $6$ per $10$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

Passaggio 7.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $60$ come $2^{2} \cdot 15$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})$

Passaggio 7.2.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

Passaggio 7.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ per $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Passaggio 7.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ per $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

Passaggio 7.4.2

Sposta $\sqrt{15}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Passaggio 7.4.3

Eleva $\sqrt{15}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})})$

Passaggio 7.4.4

Eleva $\sqrt{15}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})})$

Passaggio 7.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

Passaggio 7.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

Passaggio 7.4.7

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

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Passaggio 7.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 7.4.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 7.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 7.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 7.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{1}})$

Passaggio 7.4.7.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Passaggio 7.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59 \cdot 15}}{2 \cdot 15})$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $59$ per $15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{2 \cdot 15})$

Passaggio 7.6

Moltiplica $2$ per $15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$

Passaggio 7.7

Calcola $\arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$ .

$θ = 82.5824442$

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