Algebra lineare Esempi

$(2, 0, 1)$ , $(- 2, 1, 1)$

Passaggio 1

Usa la formula del prodotto vettoriale per trovare l'angolo tra i due vettori.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Trova il prodotto vettoriale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il prodotto incrociato di due vettori $a⃗$ e $b⃗$ può essere scritto come determinante con i vettori unitari standard da $ℝ^{3}$ e gli elementi dei vettori dati.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Passaggio 2.2

Imposta il determinante con i valori dati.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.3

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga $1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 2.3.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î$

Passaggio 2.3.5

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ$

Passaggio 2.3.7

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica l'elemento $a_{13}$ per il suo cofattore.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.3.9

Somma i termini.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.4

Calcola $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica $0$ per $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.5

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $- (- 2 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - - 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.5.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 + 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Passaggio 2.6

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Passaggio 2.6.2.1.2

Moltiplica $- (- 2 \cdot 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - 0) k̂$

Passaggio 2.6.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 + 0) k̂$

Passaggio 2.6.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + 2 k̂$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 4 ĵ + 2 k̂$

Passaggio 2.8

Riscrivi la risposta.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1, - 4, 2)$

Passaggio 3

Trova la grandezza del prodotto vettoriale.

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Passaggio 3.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 2^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 4}$

Passaggio 3.2.4

Somma $1$ e $16$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{17 + 4}$

Passaggio 3.2.5

Somma $17$ e $4$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{21}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $a⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1}$

Passaggio 4.2.4

Somma $4$ e $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Passaggio 4.2.5

Somma $4$ e $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Passaggio 5

Trova la grandezza di $b⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1^{2}}$

Passaggio 5.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1}$

Passaggio 5.2.4

Somma $4$ e $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5 + 1}$

Passaggio 5.2.5

Somma $5$ e $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{6}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{5} \sqrt{6}})$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Combina $\sqrt{21}$ e $\sqrt{6}$ in un singolo radicale.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{21}{6}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $21$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $3$ da $21$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 (7)}{6}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{7}{2}}$ come $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{1}}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.3.4.2

Moltiplica $7$ per $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}})$

Passaggio 7.5

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

Passaggio 7.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Passaggio 7.6.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Passaggio 7.6.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Passaggio 7.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Passaggio 7.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Passaggio 7.6.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 7.6.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 7.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 7.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 7.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Passaggio 7.6.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5})$

Passaggio 7.7

Moltiplica $\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{14}}{2}$ per $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14} \sqrt{5}}{2 \cdot 5})$

Passaggio 7.7.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14 \cdot 5}}{2 \cdot 5})$

Passaggio 7.7.3

Moltiplica $14$ per $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{2 \cdot 5})$

Passaggio 7.7.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$

Passaggio 7.8

Calcola $\arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$ .

$θ = 56.78908923$

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