Algebra lineare Esempi

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

Passaggio 1

Assegna un nome a ciascun vettore.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

Passaggio 2

Il primo vettore ortogonale è il primo vettore in un dato insieme di vettori.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Passaggio 3

Usa la formula per trovare gli altri vettori ortogonali.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Passaggio 4

Trova il vettore ortogonale ${v⃗}_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Usa la formula per trovare ${v⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Passaggio 4.2

Sostituisci $(0, 1, 1)$ a ${u⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Passaggio 4.3

Trova ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Trova il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1.1

Moltiplica $0$ per $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3.1.2.1.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3.1.2.1.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Passaggio 4.3.1.2.2

Somma $0$ e $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Passaggio 4.3.1.2.3

Somma $1$ e $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Passaggio 4.3.2

Trova la norma di ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Passaggio 4.3.2.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Passaggio 4.3.2.2.5

Somma $2$ e $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Passaggio 4.3.3

Trova la proiezione di ${u⃗}_{2}$ su ${v⃗}_{1}$ utilizzando la formula della proiezione.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Passaggio 4.3.4

Sostituisci $2$ a ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Passaggio 4.3.5

Sostituisci $\sqrt{3}$ a $| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci $(1, 1, 1)$ a ${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 4.3.7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 4.3.7.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 4.3.7.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 4.3.7.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1.4.1

Elimina il fattore comune.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 4.3.7.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 4.3.7.1.5

Calcola l'esponente.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Passaggio 4.3.7.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per ogni elemento della matrice.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.7.3

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.3.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.7.3.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.7.3.3

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Passaggio 4.4

Sostituisci la proiezione.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Combina ciascun componente dei vettori.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $\frac{2}{3}$ da $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Passaggio 4.5.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Passaggio 4.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Passaggio 4.5.5

Sottrai $2$ da $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Passaggio 4.5.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 4.5.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Passaggio 4.5.8

Sottrai $2$ da $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5

Trova la base ortonormale dividendo ciascun vettore ortogonale per la sua norma.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

Passaggio 6

Trova il vettore unitario $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ , dove ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per trovare un vettore unitario nella stessa direzione di un vettore $v⃗$ , dividi per la norma di $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Passaggio 6.2

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Passaggio 6.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Passaggio 6.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Passaggio 6.3.5

Somma $2$ e $1$ .

$\sqrt{3}$

Passaggio 6.4

Dividi il vettore per la sua norma.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Passaggio 6.5

Dividi ciascun elemento del vettore per $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Passaggio 7

Trova il vettore unitario $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ , dove ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Per trovare un vettore unitario nella stessa direzione di un vettore $v⃗$ , dividi per la norma di $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Passaggio 7.2

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 7.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 7.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 7.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 7.3.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 7.3.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 7.3.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 7.3.8

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 7.3.9

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 7.3.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Passaggio 7.3.11

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Passaggio 7.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Passaggio 7.3.13

Somma $4$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Passaggio 7.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Passaggio 7.3.15

Somma $5$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Passaggio 7.3.16

Elimina il fattore comune di $6$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.16.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Passaggio 7.3.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.16.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 7.3.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 7.3.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Passaggio 7.3.17

Riscrivi $\sqrt{\frac{2}{3}}$ come $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 7.4

Dividi il vettore per la sua norma.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Passaggio 7.5

Dividi ciascun elemento del vettore per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Passaggio 7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Passaggio 7.6.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Passaggio 7.6.4

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Passaggio 7.6.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Passaggio 7.6.6

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Passaggio 7.6.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 7.6.8

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Passaggio 8

Sostituisci i valori noti.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

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