Algebra lineare Esempi

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Due vettori sono ortogonali se il prodotto scalare che danno è

0

$0$ .

Passaggio 2

Valuta il prodotto scalare di

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ e

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica

1

$1$ per

1

$1$ .

1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

0

$0$ per

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ .

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

Passaggio 2.2.2

Somma

1

$1$ e

0

$0$ .

1 - 1

$1 - 1$

Passaggio 2.2.3

Sottrai

1

$1$ da

1

$1$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Passaggio 3

Valuta il prodotto scalare di

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ e

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica

1

$1$ per

1

$1$ .

1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1

$1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica

0 (- \sqrt{2})

$0 (- \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

0

$0$ .

1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica

0

$0$ per

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ .

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

Passaggio 3.2.2

Somma

1

$1$ e

0

$0$ .

1 - 1

$1 - 1$

Passaggio 3.2.3

Sottrai

1

$1$ da

1

$1$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Passaggio 4

Valuta il prodotto scalare di

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ e

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica

1

$1$ per

1

$1$ .

1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1

$1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica

\sqrt{2} (- \sqrt{2})

$\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Eleva

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ alla potenza di

1

$1$ .

1 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \cdot 1

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2.2

Eleva

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ alla potenza di

1

$1$ .

1 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \cdot 1

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2.3

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

1 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \cdot 1

$1 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.2.4

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1

$1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1$

1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1

$1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.3

Riscrivi

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ come

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ come

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

1 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1 \cdot 1

$1 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

1 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1 \cdot 1

$1 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.3.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - 2^{1} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$1 - 2 + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica

$1$ per

$1$ .

$1 - 2 + 1$

Passaggio 4.2.2

Sottrai

$2$ da

$1$ .

$- 1 + 1$

Passaggio 4.2.3

Somma

$- 1$ e

$1$ .

$0$

Passaggio 5

I vettori sono ortogonali in quanto i prodotti scalari sono tutti

$0$ .

Ortogonale

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