Algebra lineare Esempi

$4 x - y = - 4$ , $3 x - 3 y = - 6$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & - 1 & - 4 \\ 3 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{4}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{4}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 1}{4} & \frac{- 4}{4} \\ 3 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 3 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 (- \frac{1}{4}) & - 6 - 3 \cdot - 1 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 0 & - \frac{9}{4} & - 3 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{4}{9}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{4}{9}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ - \frac{4}{9} \cdot 0 & - \frac{4}{9} (- \frac{9}{4}) & - \frac{4}{9} \cdot - 3 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} \end{array}]$

Passaggio 2.4

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.4.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1 & - 1 + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{4}{3}$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(- \frac{2}{3}, \frac{4}{3})$

Passaggio 5

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} \end{array}]$

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