Algebra lineare Esempi

$A = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Nullità è la dimensione dello spazio nullo, la stessa del numero delle variabili libere nel sistema dopo la riduzione per righe. Le variabili libere sono le colonne senza posizioni pivot.

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{5}{3} & \frac{0}{3} \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 5 - 7 (\frac{5}{3}) & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{5}{3} & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{3}{20}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{3}{20}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} (- \frac{20}{3}) & - \frac{3}{20} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.6.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3

Le posizioni pivot sono le posizioni con il termine principale $1$ in ogni riga. Le colonne pivot sono colonne con una posizione pivot.

Posizioni pivot: $a_{11}$ e $a_{22}$

Colonne pivot: $1$ e $2$

Passaggio 4

La nullità è il numero di colonne senza una posizione pivot nella matrice ridotta per righe.

$1$

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