Algebra lineare Esempi

S = {[\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]}

$S = {[\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 1

Scrivi come una matrice aumentata per

A x = 0

$A x = 0$ .

[\begin{array}{c} 6 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{4}{6} & \frac{0}{6} \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{4}{6} & \frac{0}{6} \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 (\frac{2}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 (\frac{2}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{2}{3} & 0 - 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{2}{3} & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni elemento di

R_{2}

$R_{2}$ per

- \frac{3}{13}

$- \frac{3}{13}$ per rendere il dato in

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{2}

$R_{2}$ per

- \frac{3}{13}

$- \frac{3}{13}$ per rendere il dato in

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ - \frac{3}{13} \cdot 0 & - \frac{3}{13} (- \frac{13}{3}) & - \frac{3}{13} \cdot 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ - \frac{3}{13} \cdot 0 & - \frac{3}{13} (- \frac{13}{3}) & - \frac{3}{13} \cdot 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ per rendere il dato in

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ per rendere il dato in

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ per rendere il dato in

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ per rendere il dato in

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

x = 0

$x = 0$

y = 0

$y = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Passaggio 4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 5

Scrivi come insieme di soluzioni.

{[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]}$

Inserisci il TUO problema