Algebra lineare Esempi

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]}$ , $v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

Passaggio 1

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]}$

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

Assegna all'insieme il nome $S$ e al vettore il nome $v$ .

Passaggio 2

Imposta una relazione lineare per vedere se esiste una soluzione non banale al sistema.

$a [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 3.1

Scrivi i vettori come una matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Scrivi come una matrice aumentata per $A x = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 3.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 - 1 & - 1 - 1 & 3 + 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 2 & 4 \end{array}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{2}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{2}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.5

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 3.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & - 1 + 2 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.5.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 4

Poiché il sistema risultante è coerente, il vettore è un elemento dell'insieme.

$v \in ⟨ S ⟩$

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