Algebra lineare Esempi

x + y + 5 z = - 3

$x + y + 5 z = - 3$ ,

x + 2 y - 2 z = 3

$x + 2 y - 2 z = 3$ ,

4 x + 11 y + k z = 31

$4 x + 11 y + k z = 31$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 1 & 2 & - 2 & 3 4 & 11 & k & 31 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 1 & 2 & - 2 & 3 \\ 4 & 11 & k & 31 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 1 - 1 & 2 - 1 & - 2 - 5 & 3 + 3 4 & 11 & k & 31 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 1 - 1 & 2 - 1 & - 2 - 5 & 3 + 3 \\ 4 & 11 & k & 31 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 0 & 1 & - 7 & 6 4 & 11 & k & 31 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 4 & 11 & k & 31 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 0 & 1 & - 7 & 6 4 & 11 & k & 31 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 4 & 11 & k & 31 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

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Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 0 & 1 & - 7 & 6 4 - 4 \cdot 1 & 11 - 4 \cdot 1 & k - 4 \cdot 5 & 31 - 4 \cdot - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 11 - 4 \cdot 1 & k - 4 \cdot 5 & 31 - 4 \cdot - 3 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 0 & 1 & - 7 & 6 0 & 7 & k - 20 & 43 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 7 & k - 20 & 43 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 0 & 1 & - 7 & 6 0 & 7 & k - 20 & 43 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 7 & k - 20 & 43 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ per rendere il dato in

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

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Passaggio 2.3.1

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ per rendere il dato in

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 0 & 1 & - 7 & 6 0 - 7 \cdot 0 & 7 - 7 \cdot 1 & k - 20 - 7 \cdot - 7 & 43 - 7 \cdot 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 - 7 \cdot 0 & 7 - 7 \cdot 1 & k - 20 - 7 \cdot - 7 & 43 - 7 \cdot 6 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 0 & 1 & - 7 & 6 0 & 0 & k + 29 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 0 & k + 29 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 0 & 1 & - 7 & 6 0 & 0 & k + 29 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 0 & k + 29 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni elemento di

R_{3}

$R_{3}$ per

\frac{1}{k + 29}

$\frac{1}{k + 29}$ per rendere il dato in

3, 3

$3, 3$ un

1

$1$ .

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{3}

$R_{3}$ per

\frac{1}{k + 29}

$\frac{1}{k + 29}$ per rendere il dato in

3, 3

$3, 3$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 0 & 1 & - 7 & 6 \frac{0}{k + 29} & \frac{0}{k + 29} & \frac{k + 29}{k + 29} & \frac{1}{k + 29} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ \frac{0}{k + 29} & \frac{0}{k + 29} & \frac{k + 29}{k + 29} & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 0 & 1 & - 7 & 6 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 0 & 1 & - 7 & 6 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Passaggio 2.5

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} + 7 R_{3}

$R_{2} = R_{2} + 7 R_{3}$ per rendere il dato in

2, 3

$2, 3$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} + 7 R_{3}

$R_{2} = R_{2} + 7 R_{3}$ per rendere il dato in

2, 3

$2, 3$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 0 + 7 \cdot 0 & 1 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & 6 + 7 \frac{1}{k + 29} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 + 7 \cdot 0 & 1 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & 6 + 7 \frac{1}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 & - 3 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Passaggio 2.6

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} - 5 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 5 R_{3}$ per rendere il dato in

1, 3

$1, 3$ un

0

$0$ .

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Passaggio 2.6.1

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} - 5 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 5 R_{3}$ per rendere il dato in

1, 3

$1, 3$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 5 \cdot 0 & 1 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 3 - 5 \frac{1}{k + 29} 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 5 \cdot 0 & 1 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 3 - 5 \frac{1}{k + 29} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & - \frac{3 k + 92}{k + 29} 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - \frac{3 k + 92}{k + 29} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & - \frac{3 k + 92}{k + 29} 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - \frac{3 k + 92}{k + 29} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Passaggio 2.7

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} - R_{2}

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

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Passaggio 2.7.1

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} - R_{2}

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - \frac{3 k + 92}{k + 29} - \frac{6 k + 181}{k + 29} 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - \frac{3 k + 92}{k + 29} - \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Passaggio 2.7.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - \frac{3 (3 k + 91)}{k + 29} 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3 (3 k + 91)}{k + 29} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - \frac{3 (3 k + 91)}{k + 29} 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3 (3 k + 91)}{k + 29} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - \frac{3 (3 k + 91)}{k + 29} 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3 (3 k + 91)}{k + 29} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Passaggio 3

Poiché

\frac{1}{k + 29}

$\frac{1}{k + 29}$ è indefinita quando

k = - 29

$k = - 29$ , allora

k = - 29

$k = - 29$ rende il sistema privo di soluzione.

k = - 29

$k = - 29$

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