Algebra lineare Esempi

- x + 7 y = 35

$- x + 7 y = 35$ ,

3 x - 4 y = - 5

$3 x - 4 y = - 5$

Passaggio 1

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 35 \\ - 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 35 \\ - 5 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova il determinante della matrice del coefficiente

[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scrivi

[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ in notazione del determinante.

| \begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.2

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- - 4 - 3 \cdot 7

$- - 4 - 3 \cdot 7$

Passaggio 2.3

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 4

$- 4$ .

4 - 3 \cdot 7

$4 - 3 \cdot 7$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

7

$7$ .

4 - 21

$4 - 21$

4 - 21

$4 - 21$

Passaggio 2.3.2

Sottrai

21

$21$ da

4

$4$ .

- 17

$- 17$

- 17

$- 17$

D = - 17

$D = - 17$

Passaggio 3

Poiché il determinante non è

0

$0$ , il sistema può essere risolto usando la Regola di Cramer.

Passaggio 4

Trova il valore di

x

$x$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la colonna

1

$1$ della matrice di coefficiente che corrisponde ai coefficienti

x

$x$ del sistema con

[\begin{array}{c} 35 \\ - 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 35 \\ - 5 \end{array}]$ .

| \begin{array}{c} 35 & 7 \\ - 5 & - 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 35 & 7 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

35 \cdot - 4 - (- 5 \cdot 7)

$35 \cdot - 4 - (- 5 \cdot 7)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica

35

$35$ per

- 4

$- 4$ .

- 140 - (- 5 \cdot 7)

$- 140 - (- 5 \cdot 7)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica

- (- 5 \cdot 7)

$- (- 5 \cdot 7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Moltiplica

- 5

$- 5$ per

7

$7$ .

- 140 - - 35

$- 140 - - 35$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 35

$- 35$ .

- 140 + 35

$- 140 + 35$

- 140 + 35

$- 140 + 35$

- 140 + 35

$- 140 + 35$

Passaggio 4.2.2.2

Somma

- 140

$- 140$ e

35

$35$ .

- 105

$- 105$

- 105

$- 105$

D_{x} = - 105

$D_{x} = - 105$

Passaggio 4.3

Usa la formula per risolvere per

x

$x$ .

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Passaggio 4.4

Nella formula, sostituisci

- 17

$- 17$ a

D

$D$ e

- 105

$- 105$ a

D_{x}

$D_{x}$ .

x = \frac{- 105}{- 17}

$x = \frac{- 105}{- 17}$

Passaggio 4.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

x = \frac{105}{17}

$x = \frac{105}{17}$

x = \frac{105}{17}

$x = \frac{105}{17}$

Passaggio 5

Trova il valore di

y

$y$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la colonna

2

$2$ della matrice di coefficiente che corrisponde ai coefficienti

y

$y$ del sistema con

[\begin{array}{c} 35 \\ - 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 35 \\ - 5 \end{array}]$ .

| \begin{array}{c} - 1 & 35 \\ 3 & - 5 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 1 & 35 \\ 3 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- - 5 - 3 \cdot 35

$- - 5 - 3 \cdot 35$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 5

$- 5$ .

5 - 3 \cdot 35

$5 - 3 \cdot 35$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

35

$35$ .

5 - 105

$5 - 105$

5 - 105

$5 - 105$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai

105

$105$ da

5

$5$ .

- 100

$- 100$

- 100

$- 100$

D_{y} = - 100

$D_{y} = - 100$

Passaggio 5.3

Usa la formula per risolvere per

y

$y$ .

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Passaggio 5.4

Nella formula, sostituisci

- 17

$- 17$ a

D

$D$ e

- 100

$- 100$ a

D_{y}

$D_{y}$ .

y = \frac{- 100}{- 17}

$y = \frac{- 100}{- 17}$

Passaggio 5.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

y = \frac{100}{17}

$y = \frac{100}{17}$

y = \frac{100}{17}

$y = \frac{100}{17}$

Passaggio 6

Elenca la soluzione al sistema di equazioni.

x = \frac{105}{17}

$x = \frac{105}{17}$

y = \frac{100}{17}

$y = \frac{100}{17}$

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