Algebra lineare Esempi

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 023 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}]$ ,

$[\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}]$ ,

$[\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Assegna all'insieme il nome

$S$ in modo da usarlo nel corso del problema.

$S = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 2

Crea una matrice le cui righe sono i vettori nell'insieme di generatori.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 3 \\ - 1 & - 3 & - 5 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma a scalini ridotta per righe della matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci

$R_{2}$ con

$R_{1}$ per inserire un valore diverso da zero in

$1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 & - 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Moltiplica ogni elemento di

$R_{1}$ per

$- 1$ per rendere il dato in

$1, 1$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{1}$ per

$- 1$ per rendere il dato in

$1, 1$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 3 & - - 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 3 & 1 - 2 \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$\frac{1}{2}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$\frac{1}{2}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Passaggio 3.5

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ per rendere il dato in

$3, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ per rendere il dato in

$3, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & - 9 + 6 (\frac{3}{2}) \end{array}]$

Passaggio 3.5.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.6

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.6.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4

Converti le righe diverse da zero in vettori colonna per formare la base.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \frac{3}{2} \end{array}]}$

Passaggio 5

Poiché la base ha

$2$ vettori, la dimensione di

$S$ è

$2$ .

$dim (S) = 2$

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