Algebra lineare Esempi

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 123 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 2 - 3 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}$

Passaggio 1

Assegna all'insieme il nome

S

$S$ in modo da usarlo nel corso del problema.

S = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 123 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 2 - 3 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}$

Passaggio 2

Crea una matrice le cui righe sono i vettori nell'insieme di generatori.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 - 2 & - 3 & 0 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma a scalini ridotta per righe della matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 - 2 + 2 \cdot 1 & - 3 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 3 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 3 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 3 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.1.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 1 - 1 & 0 - 2 & - 1 - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 - 1 & 0 - 2 & - 1 - 3 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & - 2 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & - 2 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ per rendere il dato in

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ per rendere il dato in

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 6 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & 0 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & 0 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica ogni elemento di

$R_{3}$ per

$\frac{1}{8}$ per rendere il dato in

$3, 3$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{3}$ per

$\frac{1}{8}$ per rendere il dato in

$3, 3$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.5

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ per rendere il dato in

$2, 3$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ per rendere il dato in

$2, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.5.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.6

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ per rendere il dato in

$1, 3$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ per rendere il dato in

$1, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.6.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.7

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.7.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4

Converti le righe diverse da zero in vettori colonna per formare la base.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

Poiché la base ha

$3$ vettori, la dimensione di

$S$ è

$3$ .

$dim (S) = 3$

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