Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Passaggio 1

Scrivi la matrice come il prodotto di una matrice triangolare inferiore e una matrice triangolare superiore.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Passaggio 2

Moltiplica $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}]$ .

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Passaggio 2.1

Due matrici possono essere moltiplicate se e solo se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. In questo caso, la prima matrice è $2 \times 2$ e la seconda matrice è $2 \times 2$ .

Passaggio 2.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} 1 u_{11} + 0 \cdot 0 & 1 u_{12} + 0 u_{22} \\ l_{21} u_{11} + 1 \cdot 0 & l_{21} u_{12} + 1 u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Passaggio 3

Risolvi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scrivi come sistema lineare di equazioni.

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{11} = 2$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Passaggio 3.2

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{11}$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{11}$ in $l_{21} u_{11} = 2$ con $1$ .

$l_{21} \cdot 1 = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $l_{21}$ per $1$ .

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $l_{21}$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $l_{21}$ in $l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$ con $2$ .

$2 \cdot u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Moltiplica $2$ per $u_{12}$ .

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{12}$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{12}$ in $2 u_{12} + u_{22} = 3$ con $- 1$ .

$2 (- 1) + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Passaggio 3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Passaggio 3.2.4

Sposta tutti i termini non contenenti $u_{22}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u_{22} = 3 + 2$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Passaggio 3.2.4.2

Somma $3$ e $2$ .

$u_{22} = 5$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$u_{22} = 5$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Passaggio 3.2.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$u_{22} = 5 l_{21} = 2 u_{11} = 1 u_{12} = - 1$

Passaggio 3.2.6

Elenca tutte le soluzioni.

$u_{22} = 5, l_{21} = 2, u_{11} = 1, u_{12} = - 1$

Passaggio 4

Sostituisci con i valori ottenuti.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 5 \end{array}]$

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