Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella colonna $1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 1.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5

Il minore per $a_{21}$ è il determinante con riga $2$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Moltiplica l'elemento $a_{21}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.7

Il minore per $a_{31}$ è il determinante con riga $3$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Moltiplica l'elemento $a_{31}$ per il suo cofattore.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Somma i termini.

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (3 \cdot 2 - 4 \cdot 2) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 (6 - 4 \cdot 2) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$2 (6 - 8) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $8$ da $6$ .

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 (1 \cdot 2 - 3 \cdot 2)$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 3 \cdot 2)$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 6)$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $6$ da $2$ .

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 \cdot - 4$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 + 0 + 3 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$- 4 + 0 - 12$

Passaggio 5.2

Somma $- 4$ e $0$ .

$- 4 - 12$

Passaggio 5.3

Sottrai $12$ da $- 4$ .

$- 16$

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