Algebra lineare Esempi

B = [\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}]

$B = [\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Passaggio 1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Passaggio 2

Usa il grafico dei segni e la matrice data per trovare il cofattore di ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il minore per l'elemento

b_{11}

$b_{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Il minore per

b_{11}

$b_{11}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

1

$1$ eliminate.

| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 2 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

b_{11} = 5 \cdot 3 - 2 \cdot 6

$b_{11} = 5 \cdot 3 - 2 \cdot 6$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Moltiplica

5

$5$ per

3

$3$ .

b_{11} = 15 - 2 \cdot 6

$b_{11} = 15 - 2 \cdot 6$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

6

$6$ .

b_{11} = 15 - 12

$b_{11} = 15 - 12$

b_{11} = 15 - 12

$b_{11} = 15 - 12$

Passaggio 2.1.2.2.2

Sottrai

12

$12$ da

15

$15$ .

b_{11} = 3

$b_{11} = 3$

b_{11} = 3

$b_{11} = 3$

b_{11} = 3

$b_{11} = 3$

b_{11} = 3

$b_{11} = 3$

Passaggio 2.2

Calcola il minore per l'elemento

b_{12}

$b_{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Il minore per

b_{12}

$b_{12}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

2

$2$ eliminate.

| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 1 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

b_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 6

$b_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 6$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Moltiplica

4

$4$ per

3

$3$ .

b_{12} = 12 - 1 \cdot 6

$b_{12} = 12 - 1 \cdot 6$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

6

$6$ .

b_{12} = 12 - 6

$b_{12} = 12 - 6$

b_{12} = 12 - 6

$b_{12} = 12 - 6$

Passaggio 2.2.2.2.2

Sottrai

6

$6$ da

12

$12$ .

b_{12} = 6

$b_{12} = 6$

b_{12} = 6

$b_{12} = 6$

b_{12} = 6

$b_{12} = 6$

b_{12} = 6

$b_{12} = 6$

Passaggio 2.3

Calcola il minore per l'elemento

b_{13}

$b_{13}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Il minore per

b_{13}

$b_{13}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

3

$3$ eliminate.

| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

b_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 5

$b_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 5$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Moltiplica

4

$4$ per

2

$2$ .

b_{13} = 8 - 1 \cdot 5

$b_{13} = 8 - 1 \cdot 5$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

5

$5$ .

b_{13} = 8 - 5

$b_{13} = 8 - 5$

b_{13} = 8 - 5

$b_{13} = 8 - 5$

Passaggio 2.3.2.2.2

Sottrai

5

$5$ da

8

$8$ .

b_{13} = 3

$b_{13} = 3$

b_{13} = 3

$b_{13} = 3$

b_{13} = 3

$b_{13} = 3$

b_{13} = 3

$b_{13} = 3$

Passaggio 2.4

Calcola il minore per l'elemento

b_{21}

$b_{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Il minore per

b_{21}

$b_{21}$ è il determinante con riga

2

$2$ e colonna

1

$1$ eliminate.

| \begin{array}{c} 8 & 7 \\ 2 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 8 & 7 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

b_{21} = 8 \cdot 3 - 2 \cdot 7

$b_{21} = 8 \cdot 3 - 2 \cdot 7$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Moltiplica

8

$8$ per

3

$3$ .

b_{21} = 24 - 2 \cdot 7

$b_{21} = 24 - 2 \cdot 7$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

7

$7$ .

b_{21} = 24 - 14

$b_{21} = 24 - 14$

b_{21} = 24 - 14

$b_{21} = 24 - 14$

Passaggio 2.4.2.2.2

Sottrai

14

$14$ da

24

$24$ .

b_{21} = 10

$b_{21} = 10$

b_{21} = 10

$b_{21} = 10$

b_{21} = 10

$b_{21} = 10$

b_{21} = 10

$b_{21} = 10$

Passaggio 2.5

Calcola il minore per l'elemento

b_{22}

$b_{22}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Il minore per

b_{22}

$b_{22}$ è il determinante con riga

2

$2$ e colonna

2

$2$ eliminate.

| \begin{array}{c} 9 & 7 \\ 1 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 9 & 7 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.5.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

b_{22} = 9 \cdot 3 - 1 \cdot 7

$b_{22} = 9 \cdot 3 - 1 \cdot 7$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Moltiplica

9

$9$ per

3

$3$ .

b_{22} = 27 - 1 \cdot 7

$b_{22} = 27 - 1 \cdot 7$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

7

$7$ .

b_{22} = 27 - 7

$b_{22} = 27 - 7$

b_{22} = 27 - 7

$b_{22} = 27 - 7$

Passaggio 2.5.2.2.2

Sottrai

7

$7$ da

27

$27$ .

b_{22} = 20

$b_{22} = 20$

b_{22} = 20

$b_{22} = 20$

b_{22} = 20

$b_{22} = 20$

b_{22} = 20

$b_{22} = 20$

Passaggio 2.6

Calcola il minore per l'elemento

b_{23}

$b_{23}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Il minore per

b_{23}

$b_{23}$ è il determinante con riga

2

$2$ e colonna

3

$3$ eliminate.

| \begin{array}{c} 9 & 8 \\ 1 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 9 & 8 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.6.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

b_{23} = 9 \cdot 2 - 1 \cdot 8

$b_{23} = 9 \cdot 2 - 1 \cdot 8$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Moltiplica

9

$9$ per

2

$2$ .

b_{23} = 18 - 1 \cdot 8

$b_{23} = 18 - 1 \cdot 8$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

8

$8$ .

b_{23} = 18 - 8

$b_{23} = 18 - 8$

b_{23} = 18 - 8

$b_{23} = 18 - 8$

Passaggio 2.6.2.2.2

Sottrai

8

$8$ da

18

$18$ .

b_{23} = 10

$b_{23} = 10$

b_{23} = 10

$b_{23} = 10$

b_{23} = 10

$b_{23} = 10$

b_{23} = 10

$b_{23} = 10$

Passaggio 2.7

Calcola il minore per l'elemento

b_{31}

$b_{31}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Il minore per

b_{31}

$b_{31}$ è il determinante con riga

3

$3$ e colonna

1

$1$ eliminate.

| \begin{array}{c} 8 & 7 \\ 5 & 6 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 8 & 7 \\ 5 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.7.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

b_{31} = 8 \cdot 6 - 5 \cdot 7

$b_{31} = 8 \cdot 6 - 5 \cdot 7$

Passaggio 2.7.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1.1

Moltiplica

8

$8$ per

6

$6$ .

b_{31} = 48 - 5 \cdot 7

$b_{31} = 48 - 5 \cdot 7$

Passaggio 2.7.2.2.1.2

Moltiplica

- 5

$- 5$ per

7

$7$ .

b_{31} = 48 - 35

$b_{31} = 48 - 35$

b_{31} = 48 - 35

$b_{31} = 48 - 35$

Passaggio 2.7.2.2.2

Sottrai

35

$35$ da

48

$48$ .

b_{31} = 13

$b_{31} = 13$

b_{31} = 13

$b_{31} = 13$

b_{31} = 13

$b_{31} = 13$

b_{31} = 13

$b_{31} = 13$

Passaggio 2.8

Calcola il minore per l'elemento

b_{32}

$b_{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Il minore per

b_{32}

$b_{32}$ è il determinante con riga

3

$3$ e colonna

2

$2$ eliminate.

| \begin{array}{c} 9 & 7 \\ 4 & 6 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 9 & 7 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.8.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

b_{32} = 9 \cdot 6 - 4 \cdot 7

$b_{32} = 9 \cdot 6 - 4 \cdot 7$

Passaggio 2.8.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1.1

Moltiplica

9

$9$ per

6

$6$ .

b_{32} = 54 - 4 \cdot 7

$b_{32} = 54 - 4 \cdot 7$

Passaggio 2.8.2.2.1.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

7

$7$ .

b_{32} = 54 - 28

$b_{32} = 54 - 28$

b_{32} = 54 - 28

$b_{32} = 54 - 28$

Passaggio 2.8.2.2.2

Sottrai

28

$28$ da

54

$54$ .

b_{32} = 26

$b_{32} = 26$

b_{32} = 26

$b_{32} = 26$

b_{32} = 26

$b_{32} = 26$

b_{32} = 26

$b_{32} = 26$

Passaggio 2.9

Calcola il minore per l'elemento

b_{33}

$b_{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Il minore per

b_{33}

$b_{33}$ è il determinante con riga

3

$3$ e colonna

3

$3$ eliminate.

| \begin{array}{c} 9 & 8 \\ 4 & 5 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 9 & 8 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.9.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

b_{33} = 9 \cdot 5 - 4 \cdot 8

$b_{33} = 9 \cdot 5 - 4 \cdot 8$

Passaggio 2.9.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1.1

Moltiplica

9

$9$ per

5

$5$ .

b_{33} = 45 - 4 \cdot 8

$b_{33} = 45 - 4 \cdot 8$

Passaggio 2.9.2.2.1.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

8

$8$ .

b_{33} = 45 - 32

$b_{33} = 45 - 32$

b_{33} = 45 - 32

$b_{33} = 45 - 32$

Passaggio 2.9.2.2.2

Sottrai

32

$32$ da

45

$45$ .

b_{33} = 13

$b_{33} = 13$

b_{33} = 13

$b_{33} = 13$

b_{33} = 13

$b_{33} = 13$

b_{33} = 13

$b_{33} = 13$

Passaggio 2.10

La matrice dei cofattori è una matrice dei minori con il segno cambiato per gli elementi nelle posizioni

-

$-$ sul grafico dei segni.

[\begin{array}{c} 3 & - 6 & 3 \\ - 10 & 20 & - 10 \\ 13 & - 26 & 13 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & - 6 & 3 \\ - 10 & 20 & - 10 \\ 13 & - 26 & 13 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 3 & - 6 & 3 \\ - 10 & 20 & - 10 \\ 13 & - 26 & 13 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & - 6 & 3 \\ - 10 & 20 & - 10 \\ 13 & - 26 & 13 \end{array}]$

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