Algebra lineare Esempi

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 2 & 1 4 & 4 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Passaggio 1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Passaggio 2

Usa il grafico dei segni e la matrice data per trovare il cofattore di ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il minore per l'elemento

a_{11}

$a_{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Il minore per

a_{11}

$a_{11}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

1

$1$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4

$a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Moltiplica

4

$4$ per

3

$3$ .

a_{11} = 12 - 2 \cdot 4

$a_{11} = 12 - 2 \cdot 4$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

4

$4$ .

a_{11} = 12 - 8

$a_{11} = 12 - 8$

a_{11} = 12 - 8

$a_{11} = 12 - 8$

Passaggio 2.1.2.2.2

Sottrai

8

$8$ da

12

$12$ .

a_{11} = 4

$a_{11} = 4$

a_{11} = 4

$a_{11} = 4$

a_{11} = 4

$a_{11} = 4$

a_{11} = 4

$a_{11} = 4$

Passaggio 2.2

Calcola il minore per l'elemento

a_{12}

$a_{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Il minore per

a_{12}

$a_{12}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4

$a_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Moltiplica

4

$4$ per

3

$3$ .

a_{12} = 12 - 1 \cdot 4

$a_{12} = 12 - 1 \cdot 4$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

4

$4$ .

a_{12} = 12 - 4

$a_{12} = 12 - 4$

a_{12} = 12 - 4

$a_{12} = 12 - 4$

Passaggio 2.2.2.2.2

Sottrai

4

$4$ da

12

$12$ .

a_{12} = 8

$a_{12} = 8$

a_{12} = 8

$a_{12} = 8$

a_{12} = 8

$a_{12} = 8$

a_{12} = 8

$a_{12} = 8$

Passaggio 2.3

Calcola il minore per l'elemento

a_{13}

$a_{13}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Il minore per

a_{13}

$a_{13}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

3

$3$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4

$a_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Moltiplica

4

$4$ per

2

$2$ .

a_{13} = 8 - 1 \cdot 4

$a_{13} = 8 - 1 \cdot 4$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

4

$4$ .

a_{13} = 8 - 4

$a_{13} = 8 - 4$

a_{13} = 8 - 4

$a_{13} = 8 - 4$

Passaggio 2.3.2.2.2

Sottrai

4

$4$ da

8

$8$ .

a_{13} = 4

$a_{13} = 4$

a_{13} = 4

$a_{13} = 4$

a_{13} = 4

$a_{13} = 4$

a_{13} = 4

$a_{13} = 4$

Passaggio 2.4

Calcola il minore per l'elemento

a_{21}

$a_{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Il minore per

a_{21}

$a_{21}$ è il determinante con riga

2

$2$ e colonna

1

$1$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{21} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1

$a_{21} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Moltiplica

2

$2$ per

3

$3$ .

a_{21} = 6 - 2 \cdot 1

$a_{21} = 6 - 2 \cdot 1$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

1

$1$ .

a_{21} = 6 - 2

$a_{21} = 6 - 2$

a_{21} = 6 - 2

$a_{21} = 6 - 2$

Passaggio 2.4.2.2.2

Sottrai

2

$2$ da

6

$6$ .

a_{21} = 4

$a_{21} = 4$

a_{21} = 4

$a_{21} = 4$

a_{21} = 4

$a_{21} = 4$

a_{21} = 4

$a_{21} = 4$

Passaggio 2.5

Calcola il minore per l'elemento

a_{22}

$a_{22}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Il minore per

a_{22}

$a_{22}$ è il determinante con riga

2

$2$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.5.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{22} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1

$a_{22} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Moltiplica

3

$3$ per

3

$3$ .

a_{22} = 9 - 1 \cdot 1

$a_{22} = 9 - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

$a_{22} = 9 - 1$

Passaggio 2.5.2.2.2

Sottrai

$1$ da

$9$ .

$a_{22} = 8$

Passaggio 2.6

Calcola il minore per l'elemento

$a_{23}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Il minore per

$a_{23}$ è il determinante con riga

$2$ e colonna

$3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.6.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Moltiplica

$3$ per

$2$ .

$a_{23} = 6 - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$a_{23} = 6 - 2$

Passaggio 2.6.2.2.2

Sottrai

$2$ da

$6$ .

$a_{23} = 4$

Passaggio 2.7

Calcola il minore per l'elemento

$a_{31}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Il minore per

$a_{31}$ è il determinante con riga

$3$ e colonna

$1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Passaggio 2.7.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Passaggio 2.7.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1.1

Moltiplica

$2$ per

$4$ .

$a_{31} = 8 - 4 \cdot 1$

Passaggio 2.7.2.2.1.2

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$a_{31} = 8 - 4$

Passaggio 2.7.2.2.2

Sottrai

$4$ da

$8$ .

$a_{31} = 4$

Passaggio 2.8

Calcola il minore per l'elemento

$a_{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Il minore per

$a_{32}$ è il determinante con riga

$3$ e colonna

$2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Passaggio 2.8.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Passaggio 2.8.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1.1

Moltiplica

$3$ per

$4$ .

$a_{32} = 12 - 4 \cdot 1$

Passaggio 2.8.2.2.1.2

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$a_{32} = 12 - 4$

Passaggio 2.8.2.2.2

Sottrai

$4$ da

$12$ .

$a_{32} = 8$

Passaggio 2.9

Calcola il minore per l'elemento

$a_{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Il minore per

$a_{33}$ è il determinante con riga

$3$ e colonna

$3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Passaggio 2.9.2

Valuta il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2$

Passaggio 2.9.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1.1

Moltiplica

$3$ per

$4$ .

$a_{33} = 12 - 4 \cdot 2$

Passaggio 2.9.2.2.1.2

Moltiplica

$- 4$ per

$2$ .

$a_{33} = 12 - 8$

Passaggio 2.9.2.2.2

Sottrai

$8$ da

$12$ .

$a_{33} = 4$

Passaggio 2.10

La matrice dei cofattori è una matrice dei minori con il segno cambiato per gli elementi nelle posizioni

$-$ sul grafico dei segni.

$[\begin{array}{c} 4 & - 8 & 4 \\ - 4 & 8 & - 4 \\ 4 & - 8 & 4 \end{array}]$

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