Algebra lineare Esempi

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 2 - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 135 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 101 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 1

Assegna all'insieme il nome

S

$S$ in modo da usarlo nel corso del problema.

S = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 2 - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 135 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 101 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

$S = {[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 2

Crea una matrice le cui righe sono i vettori nell'insieme di generatori.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 2 & - 3 1 & 3 & 5 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 2 & - 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma a scalini ridotta per righe della matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{- 3}{2} 1 & 3 & 5 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{- 3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.1.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 1 & 3 & 5 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 1 & 3 & 5 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 1 - 1 & 3 + 1 & 5 + \frac{3}{2} 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 - 1 & 3 + 1 & 5 + \frac{3}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 4 & \frac{13}{2} 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 4 & \frac{13}{2} 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 - 1 & 0 + 1 & 1 + \frac{3}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$\frac{1}{4}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$\frac{1}{4}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{\frac{13}{2}}{4} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.5

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ per rendere il dato in

$3, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ per rendere il dato in

$3, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 - 0 & 1 - 1 & \frac{5}{2} - \frac{13}{8} \end{array}]$

Passaggio 3.5.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & \frac{7}{8} \end{array}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica ogni elemento di

$R_{3}$ per

$\frac{8}{7}$ per rendere il dato in

$3, 3$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{3}$ per

$\frac{8}{7}$ per rendere il dato in

$3, 3$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{8} \end{array}]$

Passaggio 3.6.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.7

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - \frac{13}{8} R_{3}$ per rendere il dato in

$2, 3$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - \frac{13}{8} R_{3}$ per rendere il dato in

$2, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 - \frac{13}{8} \cdot 0 & 1 - \frac{13}{8} \cdot 0 & \frac{13}{8} - \frac{13}{8} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.7.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ per rendere il dato in

$1, 3$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ per rendere il dato in

$1, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.9

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.9.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4

Converti le righe diverse da zero in vettori colonna per formare la base.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

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