Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovettori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica

$p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 1.1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione

$3$ è la matrice quadrata

$3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci i valori noti in

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sostituisci

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ a

$A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 1.1.3.2

Sostituisci

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ a

$I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Moltiplica

$- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.2

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.2.2.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.2.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.3

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.2.3.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.3.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.4

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.2.4.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.4.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.5

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.6

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.2.6.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.6.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.7

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.2.7.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.7.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.8

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.2.8.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.8.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.9

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Somma

$2$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.3.2

Somma

$0$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.3.3

Somma

$2$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.3.4

Somma

$0$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.3.5

Somma

$4$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.3.6

Somma

$- 1$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.1.5

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

$0$ . Se non ci sono elementi

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella colonna

$3$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.1.5.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

$-$ .

Passaggio 1.1.5.1.3

Il minore per

$a_{13}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.1.5.1.4

Moltiplica l'elemento

$a_{13}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.1.5.1.5

Il minore per

$a_{23}$ è il determinante con riga

$2$ e colonna

$3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.1.5.1.6

Moltiplica l'elemento

$a_{23}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.1.5.1.7

Il minore per

$a_{33}$ è il determinante con riga

$3$ e colonna

$3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.1.5.1.8

Moltiplica l'elemento

$a_{33}$ per il suo cofattore.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.1.5.1.9

Somma i termini.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.1.5.2

Moltiplica

$0$ per

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.1.5.3

Moltiplica

$0$ per

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.1.5.4

Calcola

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.1.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.4.2.1.1

Espandi

$(5 - λ) (5 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.1.5.4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.1.5.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.1.5.4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.4.2.1.2.1.1

Moltiplica

$5$ per

$5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.1.5.4.2.1.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.1.5.4.2.1.2.1.3

Moltiplica

$5$ per

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.1.5.4.2.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.1.5.4.2.1.2.1.5

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1

Sposta

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.1.5.4.2.1.2.1.6

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.1.5.4.2.1.2.1.7

Moltiplica

$λ^{2}$ per

$1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.1.5.4.2.1.2.2

Sottrai

$5 λ$ da

$- 5 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Passaggio 1.1.5.4.2.1.3

Moltiplica

$- 2$ per

$2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.5.4.2.2

Sottrai

$4$ da

$25$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (- 10 λ + λ^{2} + 21)$

Passaggio 1.1.5.4.2.3

Riordina

$- 10 λ$ e

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Passaggio 1.1.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.5.1

Combina i termini opposti in

$0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.5.1.1

Somma

$0$ e

$0$ .

$p (λ) = 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Passaggio 1.1.5.5.1.2

Somma

$0$ e

$(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Passaggio 1.1.5.5.2

Espandi

$(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 10 λ) + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Passaggio 1.1.5.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.5.3.1

Moltiplica

$- 10$ per

$4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Passaggio 1.1.5.5.3.2

Moltiplica

$4$ per

$21$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Passaggio 1.1.5.5.3.3

Moltiplica

$λ$ per

$λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.5.3.3.1

Sposta

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Passaggio 1.1.5.5.3.3.2

Moltiplica

$λ^{2}$ per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.5.3.3.2.1

Eleva

$λ$ alla potenza di

$1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Passaggio 1.1.5.5.3.3.2.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Passaggio 1.1.5.5.3.3.3

Somma

$2$ e

$1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Passaggio 1.1.5.5.3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 21$

Passaggio 1.1.5.5.3.5

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.5.3.5.1

Sposta

$λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 21$

Passaggio 1.1.5.5.3.5.2

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

Passaggio 1.1.5.5.3.6

Moltiplica

$- 1$ per

$- 10$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

Passaggio 1.1.5.5.3.7

Moltiplica

$21$ per

$- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ$

Passaggio 1.1.5.5.4

Somma

$4 λ^{2}$ e

$10 λ^{2}$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 21 λ$

Passaggio 1.1.5.5.5

Sottrai

$21 λ$ da

$- 40 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ + 84 - λ^{3}$

Passaggio 1.1.5.5.6

Sposta

$84$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ - λ^{3} + 84$

Passaggio 1.1.5.5.7

Sposta

$- 61 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - λ^{3} - 61 λ + 84$

Passaggio 1.1.5.5.8

Riordina

$14 λ^{2}$ e

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$

Passaggio 1.1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a

$0$ per trovare gli autovalori

$λ$ .

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84 = 0$

Passaggio 1.1.7

Risolvi per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Scomponi

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma

$\frac{p}{q}$ , dove

$p$ è un fattore della costante e

$q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.1.7.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di

$\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

Passaggio 1.1.7.1.1.3

Sostituisci

$3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a

$0$ quindi

$3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1.3.1

Sostituisci

$3$ nel polinomio.

$- 3^{3} + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Passaggio 1.1.7.1.1.3.2

Eleva

$3$ alla potenza di

$3$ .

$- 1 \cdot 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Passaggio 1.1.7.1.1.3.3

Moltiplica

$- 1$ per

$27$ .

$- 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Passaggio 1.1.7.1.1.3.4

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$- 27 + 14 \cdot 9 - 61 \cdot 3 + 84$

Passaggio 1.1.7.1.1.3.5

Moltiplica

$14$ per

$9$ .

$- 27 + 126 - 61 \cdot 3 + 84$

Passaggio 1.1.7.1.1.3.6

Somma

$- 27$ e

$126$ .

$99 - 61 \cdot 3 + 84$

Passaggio 1.1.7.1.1.3.7

Moltiplica

$- 61$ per

$3$ .

$99 - 183 + 84$

Passaggio 1.1.7.1.1.3.8

Sottrai

$183$ da

$99$ .

$- 84 + 84$

Passaggio 1.1.7.1.1.3.9

Somma

$- 84$ e

$84$ .

$0$

Passaggio 1.1.7.1.1.4

Poiché

$3$ è una radice nota, dividi il polinomio per

$λ - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84}{λ - 3}$

Passaggio 1.1.7.1.1.5

Dividi

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ per

$λ - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di

$0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$61 λ$

$84$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$- λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$- λ^{3} + 3 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$11 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					+	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$11 λ^{2} - 33 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$- 28 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							-	$28 λ$	+	$84$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$- 28 λ + 84$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$
										$0$

Passaggio 1.1.7.1.1.5.16

Since the remainder is

$0$ , the final answer is the quotient.

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

Passaggio 1.1.7.1.1.6

Scrivi

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ come insieme di fattori.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

Passaggio 1.1.7.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.2.1.1

Per un polinomio della forma

$a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è

$a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ e la cui somma è

$b = 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.2.1.1.1

Scomponi

$11$ da

$11 λ$ .

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

Passaggio 1.1.7.1.2.1.1.2

Riscrivi

$11$ come

$4$ più

$7$ .

$(λ - 3) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

Passaggio 1.1.7.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

Passaggio 1.1.7.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(λ - 3) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

Passaggio 1.1.7.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(λ - 3) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

Passaggio 1.1.7.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore,

$- λ + 4$ .

$(λ - 3) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

Passaggio 1.1.7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

Passaggio 1.1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$λ - 3 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

Passaggio 1.1.7.3

Imposta

$λ - 3$ uguale a

$0$ e risolvi per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.3.1

Imposta

$λ - 3$ uguale a

$0$ .

$λ - 3 = 0$

Passaggio 1.1.7.3.2

Somma

$3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 3$

Passaggio 1.1.7.4

Imposta

$- λ + 4$ uguale a

$0$ e risolvi per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.1

Imposta

$- λ + 4$ uguale a

$0$ .

$- λ + 4 = 0$

Passaggio 1.1.7.4.2

Risolvi

$- λ + 4 = 0$ per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.2.1

Sottrai

$4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- λ = - 4$

Passaggio 1.1.7.4.2.2

Dividi per

$- 1$ ciascun termine in

$- λ = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.2.2.1

Dividi per

$- 1$ ciascun termine in

$- λ = - 4$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.1.7.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.1.7.4.2.2.2.2

Dividi

$λ$ per

$1$ .

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.1.7.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.2.2.3.1

Dividi

$- 4$ per

$- 1$ .

$λ = 4$

Passaggio 1.1.7.5

Imposta

$λ - 7$ uguale a

$0$ e risolvi per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.5.1

Imposta

$λ - 7$ uguale a

$0$ .

$λ - 7 = 0$

Passaggio 1.1.7.5.2

Somma

$7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 7$

Passaggio 1.1.7.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ vera.

$λ = 3, 4, 7$

Passaggio 1.2

L'autovettore è uguale allo spazio nullo della matrice meno l'autovalore per la matrice identità dove

$N$ è lo spazio nullo e

$I$ è la matrice identità.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Passaggio 1.3

Trova l'autovettore usando l'autovalore

$λ = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Moltiplica

$- 3$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.1

Moltiplica

$- 3$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2.2

Moltiplica

$- 3$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2.3

Moltiplica

$- 3$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2.4

Moltiplica

$- 3$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2.5

Moltiplica

$- 3$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2.6

Moltiplica

$- 3$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2.7

Moltiplica

$- 3$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2.8

Moltiplica

$- 3$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2.9

Moltiplica

$- 3$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 5 - 3 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Sottrai

$3$ da

$5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3.2

Somma

$2$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3.3

Somma

$0$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3.4

Somma

$2$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3.5

Sottrai

$3$ da

$5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3.6

Somma

$0$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3.7

Somma

$4$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3.8

Somma

$- 1$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 3 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3.9

Sottrai

$3$ da

$4$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3

Trova lo spazio nullo quando

$λ = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{1}$ per

$\frac{1}{2}$ per rendere il dato in

$1, 1$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{1}$ per

$\frac{1}{2}$ per rendere il dato in

$1, 1$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.1.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.2

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.2.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.3

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.3.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.3.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.4

Sostituisci

$R_{3}$ con

$R_{2}$ per inserire un valore diverso da zero in

$2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.5

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$- \frac{1}{5}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.5.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$- \frac{1}{5}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 1 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.5.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.6

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.6.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 + \frac{1}{5} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.6.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y - \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 1.3.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 1.3.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 1.4

Trova l'autovettore usando l'autovalore

$λ = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1.1

Moltiplica

$- 4$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1.2.1

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.1.2.2

Moltiplica

$- 4$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.1.2.3

Moltiplica

$- 4$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.1.2.4

Moltiplica

$- 4$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.1.2.5

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.1.2.6

Moltiplica

$- 4$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.1.2.7

Moltiplica

$- 4$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.1.2.8

Moltiplica

$- 4$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.1.2.9

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Sottrai

$4$ da

$5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.3.2

Somma

$2$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.3.3

Somma

$0$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.3.4

Somma

$2$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.3.5

Sottrai

$4$ da

$5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.3.6

Somma

$0$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.3.7

Somma

$4$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.3.8

Somma

$- 1$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 4 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.3.9

Sottrai

$4$ da

$4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Trova lo spazio nullo quando

$λ = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.1.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.2

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 2 & 0 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.2.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.3

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.3.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.3.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.4

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ per rendere il dato in

$3, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.4.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ per rendere il dato in

$3, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 & 0 + 9 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.4.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.5

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.5.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.5.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 1.4.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 1.4.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 1.5

Trova l'autovettore usando l'autovalore

$λ = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Moltiplica

$- 7$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1

Moltiplica

$- 7$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.1.2.2

Moltiplica

$- 7$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.1.2.3

Moltiplica

$- 7$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.1.2.4

Moltiplica

$- 7$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.1.2.5

Moltiplica

$- 7$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.1.2.6

Moltiplica

$- 7$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.1.2.7

Moltiplica

$- 7$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.1.2.8

Moltiplica

$- 7$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.1.2.9

Moltiplica

$- 7$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 5 - 7 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1

Sottrai

$7$ da

$5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.3.2

Somma

$2$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.3.3

Somma

$0$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.3.4

Somma

$2$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.3.5

Sottrai

$7$ da

$5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.3.6

Somma

$0$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.3.7

Somma

$4$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.3.8

Somma

$- 1$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 7 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2.3.9

Sottrai

$7$ da

$4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 1.5.3

Trova lo spazio nullo quando

$λ = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{1}$ per

$- \frac{1}{2}$ per rendere il dato in

$1, 1$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{1}$ per

$- \frac{1}{2}$ per rendere il dato in

$1, 1$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5.3.2.2

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5.3.2.3

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.3.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot - 1 & - 3 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5.3.2.3.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5.3.2.4

Sostituisci

$R_{3}$ con

$R_{2}$ per inserire un valore diverso da zero in

$2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5.3.2.5

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$\frac{1}{3}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.5.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$\frac{1}{3}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5.3.2.5.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5.3.2.6

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.6.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5.3.2.6.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 1.5.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

Passaggio 1.5.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1.5.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 1.5.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 1.6

L'autospazio di

$A$ è l'elenco dello spazio vettoriale di ciascun autovalore.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 2

Definisci

$P$ come una matrice degli autovettori.

$P = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova l'inverso di

$P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

$0$ . Se non ci sono elementi

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella colonna

$2$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 3.1.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

$-$ .

Passaggio 3.1.1.3

Il minore per

$a_{12}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.1.1.4

Moltiplica l'elemento

$a_{12}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.1.1.5

Il minore per

$a_{22}$ è il determinante con riga

$2$ e colonna

$2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.1.1.6

Moltiplica l'elemento

$a_{22}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.1.1.7

Il minore per

$a_{32}$ è il determinante con riga

$3$ e colonna

$2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.1.1.8

Moltiplica l'elemento

$a_{32}$ per il suo cofattore.

$- 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.1.1.9

Somma i termini.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica

$0$ per

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica

$0$ per

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.1.4

Calcola

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Passaggio 3.1.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.2.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Passaggio 3.1.4.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5})$

Passaggio 3.1.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + 0 - 1 \frac{- 1 - 1}{5}$

Passaggio 3.1.4.2.3

Sottrai

$1$ da

$- 1$ .

$0 + 0 - 1 (\frac{- 2}{5})$

Passaggio 3.1.4.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + 0 - 1 (- \frac{2}{5})$

Passaggio 3.1.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Moltiplica

$- 1 (- \frac{2}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$0 + 0 + 1 (\frac{2}{5})$

Passaggio 3.1.5.1.2

Moltiplica

$\frac{2}{5}$ per

$1$ .

$0 + 0 + \frac{2}{5}$

Passaggio 3.1.5.2

Somma

$0$ e

$0$ .

$0 + \frac{2}{5}$

Passaggio 3.1.5.3

Somma

$0$ e

$\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Passaggio 3.2

Poiché il determinante è diverso da zero, esiste l'inverso.

Passaggio 3.3

Imposta una matrice

$3 \times 6$ dove la metà di sinistra è la matrice originale mentre la metà di destra è la sua matrice identità.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.4

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{1}$ per

$- 5$ per rendere il dato in

$1, 1$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{1}$ per

$- 5$ per rendere il dato in

$1, 1$ un

$1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - 5 (- \frac{1}{5}) & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.4.1.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 0 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 1 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.4.3

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 1 + 5 & 0 + 5 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.4.4

Sostituisci

$R_{3}$ con

$R_{2}$ per inserire un valore diverso da zero in

$2, 2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica ogni elemento di

$R_{3}$ per

$\frac{1}{2}$ per rendere il dato in

$3, 3$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{3}$ per

$\frac{1}{2}$ per rendere il dato in

$3, 3$ un

$1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.4.5.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.4.6

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ per rendere il dato in

$2, 3$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ per rendere il dato in

$2, 3$ un

$0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 5 - 6 (\frac{1}{2}) & 0 - 6 (\frac{1}{2}) & 1 - 6 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.4.6.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.4.7

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ per rendere il dato in

$1, 3$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ per rendere il dato in

$1, 3$ un

$0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.4.7.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.5

La metà destra della forma a scalini ridotta per righe è l'inverso.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4

Usa la trasformazione di similitudine per trovare la matrice diagonale

$D$ .

$D = P^{- 1} A P$

Passaggio 5

Sostituisci le matrici.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Due matrici possono essere moltiplicate se e solo se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. In questo caso, la prima matrice è

$3 \times 3$ e la seconda matrice è

$3 \times 3$ .

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} \cdot 5 + \frac{5}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & - \frac{5}{2} \cdot 2 + \frac{5}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & - \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \\ 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 1 & 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 6.1.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 6.2

Moltiplica

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Due matrici possono essere moltiplicate se e solo se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. In questo caso, la prima matrice è

$3 \times 3$ e la seconda matrice è

$3 \times 3$ .

Passaggio 6.2.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 0 + \frac{15}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 1 + \frac{15}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 8 (- \frac{1}{5}) - 12 (\frac{1}{5}) + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \\ \frac{7}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 0 + \frac{7}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 1 + \frac{7}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 6.2.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array}]$

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