Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovettori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 1.1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sostituisci $[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ a $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 1.1.3.2

Sostituisci $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ a $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.3.2

Somma $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.1.5

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.1

Espandi $(4 - λ) (3 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.2

Sottrai $3 λ$ da $- 4 λ$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

Passaggio 1.1.5.2.2

Sottrai $6$ da $12$ .

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

Passaggio 1.1.5.2.3

Riordina $- 7 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

Passaggio 1.1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

Passaggio 1.1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Scomponi $λ^{2} - 7 λ + 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 6, - 1$

Passaggio 1.1.7.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

Passaggio 1.1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ - 6 = 0$

$λ - 1 = 0$

Passaggio 1.1.7.3

Imposta $λ - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.3.1

Imposta $λ - 6$ uguale a $0$ .

$λ - 6 = 0$

Passaggio 1.1.7.3.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 6$

Passaggio 1.1.7.4

Imposta $λ - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.1

Imposta $λ - 1$ uguale a $0$ .

$λ - 1 = 0$

Passaggio 1.1.7.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 1$

Passaggio 1.1.7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(λ - 6) (λ - 1) = 0$ vera.

$λ = 6, 1$

Passaggio 1.2

L'autovettore è uguale allo spazio nullo della matrice meno l'autovalore per la matrice identità dove $N$ è lo spazio nullo e $I$ è la matrice identità.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Passaggio 1.3

Trova l'autovettore usando l'autovalore $λ = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Moltiplica $- 6$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.1

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2.2

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2.3

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2.4

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Sottrai $6$ da $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3.2

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3.3

Somma $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3.4

Sottrai $6$ da $3$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3

Trova lo spazio nullo quando $λ = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- \frac{1}{2}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- \frac{1}{2}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 1.3.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 1.3.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 1.4

Trova l'autovettore usando l'autovalore $λ = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sottrai gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Sottrai $1$ da $4$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.2.2

Sottrai $0$ da $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.2.3

Sottrai $0$ da $3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.2.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Trova lo spazio nullo quando $λ = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x + \frac{2}{3} y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 1.4.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 1.4.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 1.5

L'autospazio di $A$ è l'elenco dello spazio vettoriale di ciascun autovalore.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 2

Definisci $P$ come una matrice degli autovettori.

$P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova l'inverso di $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

È possibile trovare l'inverso di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ in cui $a d - b c$ è il determinante.

Passaggio 3.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 - - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- - \frac{2}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 + 1 (\frac{2}{3})$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$1 + \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 + 2}{3}$

Passaggio 3.2.2.4

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{5}{3}$

Passaggio 3.3

Poiché il determinante è diverso da zero, esiste l'inverso.

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori noti nella formula con l'inverso.

$P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $\frac{3}{5}$ per $1$ .

$P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.7

Moltiplica $\frac{3}{5}$ per ogni elemento della matrice.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Moltiplica $\frac{3}{5}$ per $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Elimina il fattore comune.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.3

$\frac{1}{5}$ e $2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.4

Moltiplica $\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

$\frac{3}{5}$ e $- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.6

Moltiplica $\frac{3}{5}$ per $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Passaggio 4

Usa la trasformazione di similitudine per trovare la matrice diagonale $D$ .

$D = P^{- 1} A P$

Passaggio 5

Sostituisci le matrici.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Due matrici possono essere moltiplicate se e solo se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. In questo caso, la prima matrice è $2 \times 2$ e la seconda matrice è $2 \times 2$ .

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 6.1.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 6.2

Moltiplica $[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$ .

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Passaggio 6.2.1

Passaggio 6.2.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 6.2.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

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