Algebra lineare Esempi

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovettori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 1.1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione

2

$2$ è la matrice quadrata

2 \times 2

$2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci i valori noti in

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sostituisci

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ a

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 1.1.3.2

Sostituisci

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ a

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Moltiplica

- λ

$- λ$ per ogni elemento della matrice.

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.2

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.2.2.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.2.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.3

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.2.3.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.3.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.1.2.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Somma

2

$2$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.3.2

Somma

3

$3$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.1.5

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.1

Espandi

(4 - λ) (3 - λ)

$(4 - λ) (3 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.1

Moltiplica

4

$4$ per

3

$3$ .

p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

4

$4$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.3

Moltiplica

3

$3$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.5

Moltiplica

λ

$λ$ per

λ

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.5.1

Sposta

λ

$λ$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica

λ

$λ$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.6

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1.7

Moltiplica

λ^{2}

$λ^{2}$ per

1

$1$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.2

Sottrai

3 λ

$3 λ$ da

- 4 λ

$- 4 λ$ .

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.1.5.2.1.3

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

2

$2$ .

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

Passaggio 1.1.5.2.2

Sottrai

6

$6$ da

12

$12$ .

p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

Passaggio 1.1.5.2.3

Riordina

- 7 λ

$- 7 λ$ e

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

Passaggio 1.1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a

0

$0$ per trovare gli autovalori

λ

$λ$ .

λ^{2} - 7 λ + 6 = 0

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

Passaggio 1.1.7

Risolvi per

λ

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Scomponi

λ^{2} - 7 λ + 6

$λ^{2} - 7 λ + 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Considera la forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

c

$c$ e la cui formula è

b

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

6

$6$ e la cui somma è

- 7

$- 7$ .

- 6, - 1

$- 6, - 1$

Passaggio 1.1.7.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

(λ - 6) (λ - 1) = 0

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

(λ - 6) (λ - 1) = 0

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

Passaggio 1.1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

λ - 6 = 0

$λ - 6 = 0$

λ - 1 = 0

$λ - 1 = 0$

Passaggio 1.1.7.3

Imposta

λ - 6

$λ - 6$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

λ

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.3.1

Imposta

λ - 6

$λ - 6$ uguale a

0

$0$ .

λ - 6 = 0

$λ - 6 = 0$

Passaggio 1.1.7.3.2

Somma

6

$6$ a entrambi i lati dell'equazione.

λ = 6

$λ = 6$

λ = 6

$λ = 6$

Passaggio 1.1.7.4

Imposta

λ - 1

$λ - 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

λ

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.1

Imposta

λ - 1

$λ - 1$ uguale a

0

$0$ .

λ - 1 = 0

$λ - 1 = 0$

Passaggio 1.1.7.4.2

Somma

1

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

λ = 1

$λ = 1$

λ = 1

$λ = 1$

Passaggio 1.1.7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

(λ - 6) (λ - 1) = 0

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$ vera.

λ = 6, 1

$λ = 6, 1$

λ = 6, 1

$λ = 6, 1$

λ = 6, 1

$λ = 6, 1$

Passaggio 1.2

L'autovettore è uguale allo spazio nullo della matrice meno l'autovalore per la matrice identità dove

N

$N$ è lo spazio nullo e

I

$I$ è la matrice identità.

ε_{A} = N (A - λ I_{2})

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Passaggio 1.3

Trova l'autovettore usando l'autovalore

λ = 6

$λ = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Moltiplica

- 6

$- 6$ per ogni elemento della matrice.

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.1

Moltiplica

- 6

$- 6$ per

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2.2

Moltiplica

- 6

$- 6$ per

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2.3

Moltiplica

- 6

$- 6$ per

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.1.2.4

Moltiplica

- 6

$- 6$ per

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Sottrai

6

$6$ da

4

$4$ .

[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3.2

Somma

2

$2$ e

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3.3

Somma

3

$3$ e

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2.3.4

Sottrai

6

$6$ da

3

$3$ .

[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3

Trova lo spazio nullo quando

λ = 6

$λ = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per

A x = 0

$A x = 0$ .

[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.1.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.2

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.2.2.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

x - y = 0

$x - y = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Passaggio 1.3.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

{y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 1.3.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

{[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 1.4

Trova l'autovettore usando l'autovalore

λ = 1

$λ = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sottrai gli elementi corrispondenti.

[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Sottrai

1

$1$ da

4

$4$ .

[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.2.2

Sottrai

0

$0$ da

2

$2$ .

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.2.3

Sottrai

0

$0$ da

3

$3$ .

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2.2.4

Sottrai

1

$1$ da

3

$3$ .

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Trova lo spazio nullo quando

λ = 1

$λ = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per

A x = 0

$A x = 0$ .

[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.1.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.2

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2.2.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

x + \frac{2}{3} y = 0

$x + \frac{2}{3} y = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Passaggio 1.4.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

{y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 1.4.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

{[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 1.5

L'autospazio di

A

$A$ è l'elenco dello spazio vettoriale di ciascun autovalore.

{[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 2

Definisci

P

$P$ come una matrice degli autovettori.

P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]

$P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova l'inverso di

P

$P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

È possibile trovare l'inverso di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ in cui

a d - b c

$a d - b c$ è il determinante.

Passaggio 3.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}

$1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica

1

$1$ per

1

$1$ .

1 - - \frac{2}{3}

$1 - - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica

- - \frac{2}{3}

$- - \frac{2}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

1 + 1 (\frac{2}{3})

$1 + 1 (\frac{2}{3})$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Moltiplica

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ per

1

$1$ .

1 + \frac{2}{3}

$1 + \frac{2}{3}$

1 + \frac{2}{3}

$1 + \frac{2}{3}$

1 + \frac{2}{3}

$1 + \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.2.2

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

\frac{3}{3} + \frac{2}{3}

$\frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{3 + 2}{3}

$\frac{3 + 2}{3}$

Passaggio 3.2.2.4

Somma

3

$3$ e

2

$2$ .

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$

Passaggio 3.3

Poiché il determinante è diverso da zero, esiste l'inverso.

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori noti nella formula con l'inverso.

P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]

$P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]

$P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ per

1

$1$ .

P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]

$P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.7

Moltiplica

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ per ogni elemento della matrice.

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Moltiplica

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ per

1

$1$ .

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.2

Elimina il fattore comune di

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Elimina il fattore comune.

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.3

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ e

2

$2$ .

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.4

Moltiplica

\frac{3}{5} \cdot - 1

$\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ e

- 1

$- 1$ .

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.4.2

Moltiplica

3

$3$ per

- 1

$- 1$ .

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8.6

Moltiplica

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ per

1

$1$ .

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Passaggio 4

Usa la trasformazione di similitudine per trovare la matrice diagonale

D

$D$ .

D = P^{- 1} A P

$D = P^{- 1} A P$

Passaggio 5

Sostituisci le matrici.

[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica

[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Due matrici possono essere moltiplicate se e solo se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. In questo caso, la prima matrice è

2 \times 2

$2 \times 2$ e la seconda matrice è

2 \times 2

$2 \times 2$ .

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 6.1.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 6.2

Moltiplica

[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Due matrici possono essere moltiplicate se e solo se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. In questo caso, la prima matrice è

2 \times 2

$2 \times 2$ e la seconda matrice è

2 \times 2

$2 \times 2$ .

Passaggio 6.2.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 6.2.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

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