Algebra lineare Esempi

$A = [\begin{array}{c} 3 & 1 & 2 \end{array}]$ , $x = [\begin{array}{c} x & 3 y & z \end{array}]$

Passaggio 1

Scrivi come sistema lineare di equazioni.

$3 = x$

$1 = 3 y$

$2 = z$

Passaggio 2

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Sposta le variabili a sinistra e i termini costanti a destra.

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Passaggio 2.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 - x = 0$

$1 = 3 y$

$2 = z$

Passaggio 2.1.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

$1 = 3 y$

$2 = z$

Passaggio 2.1.3

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

$1 - 3 y = 0$

$2 = z$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

$- 3 y = - 1$

$2 = z$

Passaggio 2.1.5

Sottrai $z$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

$- 3 y = - 1$

$2 - z = 0$

Passaggio 2.1.6

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

$- 3 y = - 1$

$- z = - 2$

$- x = - 3$

$- 3 y = - 1$

$- z = - 2$

Passaggio 2.2

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- 1$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- 1$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - - 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $- 1$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $- 1$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x = 3$

$y = \frac{1}{3}$

$z = 2$

Passaggio 2.5

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ \frac{1}{3} \\ 2 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${[\begin{array}{c} 3 \\ \frac{1}{3} \\ 2 \end{array}]}$

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