Algebra lineare Esempi

A = [\begin{matrix} 81 \end{matrix}]

$A = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ ,

x = [\begin{matrix} 3 x + 3 y 4 x - y \end{matrix}]

$x = [\begin{array}{c} 3 x + 3 y \\ 4 x - y \end{array}]$

Passaggio 1

Scrivi come una matrice aumentata per

x \cdot x = [\begin{matrix} 81 \end{matrix}]

$x \cdot x = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ .

[\begin{matrix} 3 x + 3 y & 8 4 x - y & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 x + 3 y & 8 \\ 4 x - y & 1 \end{array}]$

Passaggio 2

Scrivi come sistema lineare di equazioni.

8 = 3 x + 3 y

$8 = 3 x + 3 y$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta le variabili a sinistra e i termini costanti a destra.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Sottrai

3 x

$3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

8 - 3 x = 3 y

$8 - 3 x = 3 y$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

Passaggio 3.1.1.2

Sottrai

3 y

$3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

8 - 3 x - 3 y = 0

$8 - 3 x - 3 y = 0$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

8 - 3 x - 3 y = 0

$8 - 3 x - 3 y = 0$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

Passaggio 3.1.2

Sottrai

8

$8$ da entrambi i lati dell'equazione.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

Passaggio 3.1.3

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Sottrai

4 x

$4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x = - y

$1 - 4 x = - y$

Passaggio 3.1.3.2

Somma

y

$y$ a entrambi i lati dell'equazione.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x + y = 0

$1 - 4 x + y = 0$

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x + y = 0

$1 - 4 x + y = 0$

Passaggio 3.1.4

Sottrai

1

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

- 4 x + y = - 1

$- 4 x + y = - 1$

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

- 4 x + y = - 1

$- 4 x + y = - 1$

Passaggio 3.2

Scrivi il sistema come matrice.

[\begin{matrix} - 3 & - 3 & - 8 - 4 & 1 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 3 & - 3 & - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

[\begin{matrix} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 - 4 & 1 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} - 4 & 1 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} - 4 & 1 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 (\frac{8}{3}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 (\frac{8}{3}) \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica ogni elemento di

R_{2}

$R_{2}$ per

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ per rendere il dato in

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{2}

$R_{2}$ per

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ per rendere il dato in

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{\frac{29}{3}}{5} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{\frac{29}{3}}{5} \end{array}]$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Passaggio 3.3.4

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} - R_{2}

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} - R_{2}

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{8}{3} - \frac{29}{15} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{8}{3} - \frac{29}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Passaggio 3.3.4.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{11}{15} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{11}{15} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{11}{15} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Passaggio 3.4

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

x = \frac{11}{15}

$x = \frac{11}{15}$

y = \frac{29}{15}

$y = \frac{29}{15}$

Passaggio 3.5

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{11}{15} \frac{29}{15} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]$

Passaggio 3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

{[\begin{matrix} \frac{11}{15} \frac{29}{15} \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}$

{[\begin{matrix} \frac{11}{15} \frac{29}{15} \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}$

Inserisci il TUO problema