Algebra lineare Esempi

$A = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ , $x = [\begin{array}{c} 3 x + 3 y \\ 4 x - y \end{array}]$

Passaggio 1

Scrivi come una matrice aumentata per $x \cdot x = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 3 x + 3 y & 8 \\ 4 x - y & 1 \end{array}]$

Passaggio 2

Scrivi come sistema lineare di equazioni.

$8 = 3 x + 3 y$

$1 = 4 x - y$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Sposta le variabili a sinistra e i termini costanti a destra.

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Passaggio 3.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1.1.1

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 - 3 x = 3 y$

$1 = 4 x - y$

Passaggio 3.1.1.2

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 - 3 x - 3 y = 0$

$1 = 4 x - y$

$8 - 3 x - 3 y = 0$

$1 = 4 x - y$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 = 4 x - y$

Passaggio 3.1.3

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1.3.1

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 - 4 x = - y$

Passaggio 3.1.3.2

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 - 4 x + y = 0$

$- 3 x - 3 y = - 8$

$1 - 4 x + y = 0$

Passaggio 3.1.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x - 3 y = - 8$

$- 4 x + y = - 1$

$- 3 x - 3 y = - 8$

$- 4 x + y = - 1$

Passaggio 3.2

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} - 3 & - 3 & - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 (\frac{8}{3}) \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{5}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{5}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{\frac{29}{3}}{5} \end{array}]$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Passaggio 3.3.4

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{8}{3} - \frac{29}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Passaggio 3.3.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Passaggio 3.4

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x = \frac{11}{15}$

$y = \frac{29}{15}$

Passaggio 3.5

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]$

Passaggio 3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}$

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