Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Per determinare se le colonne nella matrice sono linearmente indipendenti, determina se l'equazione $A x = 0$ ha soluzioni non banali.

Passaggio 2

Scrivi come una matrice aumentata per $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 3.1.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 3.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & - 2 - 6 \cdot 2 & 0 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{7}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{7}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 3 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.4

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

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Passaggio 3.4.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 + 14 \cdot 0 & - 14 + 14 \cdot 1 & - 6 + 14 (\frac{3}{7}) & 0 + 14 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.5

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 3.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{3}{7}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.5.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4

Rimuovi le righe che contengono tutti zeri.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5

Scrivi la matrice come sistema di equazioni lineari.

$x + \frac{1}{7} z = 0$

$y + \frac{3}{7} z = 0$

Passaggio 6

Poiché non vi sono soluzioni non banali a $A x = 0$ , i vettori sono linearmente indipendenti.

Linearmente dipendente

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