Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 7 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 6 \\ - 5 \\ 8 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 9 \end{array}]$

Passaggio 1

Per determinare se le colonne nella matrice sono linearmente indipendenti, determina se l'equazione $A x = 0$ ha soluzioni non banali.

Passaggio 2

Scrivi come una matrice aumentata per $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 6 & 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- 1$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- 1$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 6 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 3.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 5 - 4 \cdot - 6 & 5 - 4 \cdot - 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 3.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 8 - 7 \cdot - 6 & 9 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{19}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{19}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{9}{19} & \frac{0}{19} \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.5

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

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Passaggio 3.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 - 50 \cdot 0 & 50 - 50 \cdot 1 & 16 - 50 (\frac{9}{19}) & 0 - 50 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $- \frac{19}{146}$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $- \frac{19}{146}$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} (- \frac{146}{19}) & - \frac{19}{146} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.6.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.7

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

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Passaggio 3.7.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 & 1 - \frac{9}{19} \cdot 0 & \frac{9}{19} - \frac{9}{19} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.7.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.8

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

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Passaggio 3.8.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 6 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.9

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 3.9.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.9.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4

Scrivi la matrice come sistema di equazioni lineari.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Passaggio 5

Poiché l'unica soluzione di $A x = 0$ è la soluzione banale, i vettori sono linearmente indipendenti.

Linearmente indipendente

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