Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica

$p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione

$2$ è la matrice quadrata

$2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci

$A$ per

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci

$I_{2}$ per

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica

$- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma

$8$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 2 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma

$2$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 2 & 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (6 - λ) (5 - λ) - 2 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Espandi

$(6 - λ) (5 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 6 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 6 \cdot 5 + 6 (- λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 6 \cdot 5 + 6 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.1

Moltiplica

$6$ per

$5$ .

$p (λ) = 30 + 6 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$6$ .

$p (λ) = 30 - 6 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.3

Moltiplica

$5$ per

$- 1$ .

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.1

Sposta

$λ$ .

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ .

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.6

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.7

Moltiplica

$λ^{2}$ per

$1$ .

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2.1.2.2

Sottrai

$5 λ$ da

$- 6 λ$ .

$p (λ) = 30 - 11 λ + λ^{2} - 2 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2.1.3

Moltiplica

$- 2$ per

$8$ .

$p (λ) = 30 - 11 λ + λ^{2} - 16$

Passaggio 1.5.2.2

Sottrai

$16$ da

$30$ .

$p (λ) = - 11 λ + λ^{2} + 14$

Passaggio 1.5.2.3

Riordina

$- 11 λ$ e

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 11 λ + 14$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a

$0$ per trovare gli autovalori

$λ$ .

$λ^{2} - 11 λ + 14 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci i valori

$a = 1$ ,

$b = - 11$ e

$c = 14$ nella formula quadratica e risolvi per

$λ$ .

$\frac{11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 14)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.1

Eleva

$- 11$ alla potenza di

$2$ .

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Moltiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.2.1

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.2.2

Moltiplica

$- 4$ per

$14$ .

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.3

Sottrai

$56$ da

$121$ .

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{2}$

Passaggio 1.7.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = \frac{11 + \sqrt{65}}{2}, \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica

$- \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica

$- \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.2.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2.2

Moltiplica

$0$ per

$\frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica

$- \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.3.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3.2

Moltiplica

$0$ per

$\frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 6 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per scrivere

$6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.2

$6$ e

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} \frac{6 \cdot 2 - (11 + \sqrt{65})}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.4.1

Moltiplica

$6$ per

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{12 - (11 + \sqrt{65})}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 1 \cdot 11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4.3

Moltiplica

$- 1$ per

$11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4.4

Sottrai

$11$ da

$12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.5

Somma

$8$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.6

Somma

$2$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.7

Per scrivere

$5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.8

$5$ e

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{5 \cdot 2 - (11 + \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.10.1

Moltiplica

$5$ per

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - (11 + \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 1 \cdot 11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.10.3

Moltiplica

$- 1$ per

$11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.10.4

Sottrai

$11$ da

$10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.11

Riscrivi

$- 1$ come

$- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.12

Scomponi

$- 1$ da

$- \sqrt{65}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - (\sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.13

Scomponi

$- 1$ da

$- 1 (1) - (\sqrt{65})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1 + \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when

$λ = \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 & 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{1 - \sqrt{65}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{1 - \sqrt{65}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{1 - \sqrt{65}} \cdot \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & \frac{2}{1 - \sqrt{65}} \cdot 8 & \frac{2}{1 - \sqrt{65}} \cdot 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} - 2 (- \frac{1 + \sqrt{65}}{4}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{4} + \frac{y \sqrt{65}}{4} \\ y \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica

$- \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica

$- \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.2.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2.2

Moltiplica

$0$ per

$\frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica

$- \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.3.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3.2

Moltiplica

$0$ per

$\frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 6 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per scrivere

$6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

$6$ e

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} \frac{6 \cdot 2 - (11 - \sqrt{65})}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.1

Moltiplica

$6$ per

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{12 - (11 - \sqrt{65})}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 1 \cdot 11 - - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.3

Moltiplica

$- 1$ per

$11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 11 - - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.4

Moltiplica

$- - \sqrt{65}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.4.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 11 + 1 \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.4.2

Moltiplica

$\sqrt{65}$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 11 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.5

Sottrai

$11$ da

$12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.5

Somma

$8$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.6

Somma

$2$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.7

Per scrivere

$5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.8

$5$ e

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{5 \cdot 2 - (11 - \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.10.1

Moltiplica

$5$ per

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - (11 - \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 1 \cdot 11 - - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.10.3

Moltiplica

$- 1$ per

$11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 11 - - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.10.4

Moltiplica

$- - \sqrt{65}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.10.4.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 11 + 1 \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.10.4.2

Moltiplica

$\sqrt{65}$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.10.5

Sottrai

$11$ da

$10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.11

Riscrivi

$- 1$ come

$- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1) + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.12

Scomponi

$- 1$ da

$\sqrt{65}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.13

Scomponi

$- 1$ da

$- 1 (1) - 1 (- \sqrt{65})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1 - \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when

$λ = \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 & 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{1 + \sqrt{65}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{1 + \sqrt{65}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{1 + \sqrt{65}} \cdot \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & \frac{2}{1 + \sqrt{65}} \cdot 8 & \frac{2}{1 + \sqrt{65}} \cdot 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} - 2 (- \frac{1 - \sqrt{65}}{4}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{4} - \frac{y \sqrt{65}}{4} \\ y \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]}$

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