Algebra lineare Esempi

$A = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica

$p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione

$3$ è la matrice quadrata

$3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$ a

$A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ a

$I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica

$- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.5

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.6.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.7.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.8.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.9

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma

$5$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma

$0$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Somma

$7$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.4

Somma

$0$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.5

Somma

$1$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.6

Somma

$1$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.7

Sottrai

$λ$ da

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 & - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

$0$ . Se non ci sono elementi

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella colonna

$3$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

$-$ .

Passaggio 1.5.1.3

Il minore per

$a_{13}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.4

Moltiplica l'elemento

$a_{13}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.5

Il minore per

$a_{23}$ è il determinante con riga

$2$ e colonna

$3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.6

Moltiplica l'elemento

$a_{23}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.7

Il minore per

$a_{33}$ è il determinante con riga

$3$ e colonna

$3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.8

Moltiplica l'elemento

$a_{33}$ per il suo cofattore.

$- λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.9

Somma i termini.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica

$0$ per

$| \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica

$0$ per

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.4

Calcola

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ ((3 - λ) (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Espandi

$(3 - λ) (5 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.1

Moltiplica

$3$ per

$5$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$3$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.3

Moltiplica

$5$ per

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Sposta

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.6

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.7

Moltiplica

$λ^{2}$ per

$1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ + λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.2

Sottrai

$5 λ$ da

$- 3 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 8 λ + λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Moltiplica

$- 7$ per

$5$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 8 λ + λ^{2} - 35)$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai

$35$ da

$15$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- 8 λ + λ^{2} - 20)$

Passaggio 1.5.4.2.3

Riordina

$- 8 λ$ e

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

Passaggio 1.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Combina i termini opposti in

$0 + 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.1

Somma

$0$ e

$0$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

Passaggio 1.5.5.1.2

Sottrai

$λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$ da

$0$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

Passaggio 1.5.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Passaggio 1.5.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1

Moltiplica

$λ$ per

$λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.1

Sposta

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Passaggio 1.5.5.3.1.2

Moltiplica

$λ^{2}$ per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.2.1

Eleva

$λ$ alla potenza di

$1$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Passaggio 1.5.5.3.1.2.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Passaggio 1.5.5.3.1.3

Somma

$2$ e

$1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Passaggio 1.5.5.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot - 20$

Passaggio 1.5.5.3.3

Moltiplica

$- 20$ per

$- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ + 20 λ$

Passaggio 1.5.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.1

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.1.1

Sposta

$λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) + 20 λ$

Passaggio 1.5.5.4.1.2

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} + 20 λ$

Passaggio 1.5.5.4.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 8$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a

$0$ per trovare gli autovalori

$λ$ .

$- λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Scomponi

$- λ$ da

$- λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.1

Scomponi

$- λ$ da

$- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 8 λ^{2} + 20 λ = 0$

Passaggio 1.7.1.1.2

Scomponi

$- λ$ da

$8 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) + 20 λ = 0$

Passaggio 1.7.1.1.3

Scomponi

$- λ$ da

$20 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20 = 0$

Passaggio 1.7.1.1.4

Scomponi

$- λ$ da

$- λ (λ^{2}) - λ (- 8 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 8 λ) - λ \cdot - 20 = 0$

Passaggio 1.7.1.1.5

Scomponi

$- λ$ da

$- λ (λ^{2} - 8 λ) - λ (- 20)$ .

$- λ (λ^{2} - 8 λ - 20) = 0$

Passaggio 1.7.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1

Scomponi

$λ^{2} - 8 λ - 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1.1

Considera la forma

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

$c$ e la cui formula è

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

$- 20$ e la cui somma è

$- 8$ .

$- 10, 2$

Passaggio 1.7.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- λ ((λ - 10) (λ + 2)) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- λ (λ - 10) (λ + 2) = 0$

Passaggio 1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$λ = 0$

$λ - 10 = 0$

$λ + 2 = 0$

Passaggio 1.7.3

Imposta

$λ$ uguale a

$0$ .

$λ = 0$

Passaggio 1.7.4

Imposta

$λ - 10$ uguale a

$0$ e risolvi per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Imposta

$λ - 10$ uguale a

$0$ .

$λ - 10 = 0$

Passaggio 1.7.4.2

Somma

$10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 10$

Passaggio 1.7.5

Imposta

$λ + 2$ uguale a

$0$ e risolvi per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Imposta

$λ + 2$ uguale a

$0$ .

$λ + 2 = 0$

Passaggio 1.7.5.2

Sottrai

$2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ = - 2$

Passaggio 1.7.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$- λ (λ - 10) (λ + 2) = 0$ vera.

$λ = 0, 10, - 2$

Passaggio 2

L'autovettore è uguale allo spazio nullo della matrice meno l'autovalore per la matrice identità dove

$N$ è lo spazio nullo e

$I$ è la matrice identità.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Passaggio 3

Trova l'autovettore usando l'autovalore

$λ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica

$0$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica

$0$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica

$0$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica

$0$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica

$0$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.5

Moltiplica

$0$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.6

Moltiplica

$0$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.7

Moltiplica

$0$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.8

Moltiplica

$0$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.9

Moltiplica

$0$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

La somma di qualsiasi matrice più una matrice zero dà come risultato la matrice stessa.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 3 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Somma

$3$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.2

Somma

$5$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.3

Somma

$0$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.4

Somma

$7$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.5

Somma

$5$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.6

Somma

$0$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.7

Somma

$1$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.8

Somma

$1$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.9

Somma

$0$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Trova lo spazio nullo quando

$λ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{1}$ per

$\frac{1}{3}$ per rendere il dato in

$1, 1$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{1}$ per

$\frac{1}{3}$ per rendere il dato in

$1, 1$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{5}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 5 - 7 (\frac{5}{3}) & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{5}{3} & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$- \frac{3}{20}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$- \frac{3}{20}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} (- \frac{20}{3}) & - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.5

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ per rendere il dato in

$3, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ per rendere il dato in

$3, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.5.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.6

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.6.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.6.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 3.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Trova l'autovettore usando l'autovalore

$λ = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - 10 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica

$- 10$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica

$- 10$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica

$- 10$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica

$- 10$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica

$- 10$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.5

Moltiplica

$- 10$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.6

Moltiplica

$- 10$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.7

Moltiplica

$- 10$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.8

Moltiplica

$- 10$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.9

Moltiplica

$- 10$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 3 - 10 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sottrai

$10$ da

$3$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

Somma

$5$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Somma

$0$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Somma

$7$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.5

Sottrai

$10$ da

$5$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.6

Somma

$0$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.7

Somma

$1$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.8

Somma

$1$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9

Sottrai

$10$ da

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Trova lo spazio nullo quando

$λ = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{1}$ per

$- \frac{1}{7}$ per rendere il dato in

$1, 1$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{1}$ per

$- \frac{1}{7}$ per rendere il dato in

$1, 1$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot 5 & - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in

$2, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & - 5 - 7 (- \frac{5}{7}) & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

$3, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + \frac{5}{7} & - 10 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12}{7} & - 10 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.4

Sostituisci

$R_{3}$ con

$R_{2}$ per inserire un valore diverso da zero in

$2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12}{7} & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.5

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$\frac{7}{12}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Moltiplica ogni elemento di

$R_{2}$ per

$\frac{7}{12}$ per rendere il dato in

$2, 2$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ \frac{7}{12} \cdot 0 & \frac{7}{12} \cdot \frac{12}{7} & \frac{7}{12} \cdot - 10 & \frac{7}{12} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.5.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.6

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} + \frac{5}{7} R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} + \frac{5}{7} R_{2}$ per rendere il dato in

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{7} \cdot 0 & - \frac{5}{7} + \frac{5}{7} \cdot 1 & 0 + \frac{5}{7} (- \frac{35}{6}) & 0 + \frac{5}{7} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.6.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{25}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x - \frac{25}{6} z = 0$

$y - \frac{35}{6} z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{25 z}{6} \\ \frac{35 z}{6} \\ z \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${z [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 4.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

Trova l'autovettore usando l'autovalore

$λ = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica

$2$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.2

Moltiplica

$2$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.3

Moltiplica

$2$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.4

Moltiplica

$2$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.5

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.6

Moltiplica

$2$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.7

Moltiplica

$2$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.8

Moltiplica

$2$ per

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.9

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 3 + 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Somma

$3$ e

$2$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.2

Somma

$5$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.3

Somma

$0$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.4

Somma

$7$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.5

Somma

$5$ e

$2$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.6

Somma

$0$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.7

Somma

$1$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.8

Somma

$1$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.9

Somma

$0$ e

$2$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 5.3

Trova lo spazio nullo quando $λ = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{5}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{5}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{5}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 7 - 7 \cdot 1 & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.3

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 2 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.4

Sostituisci $R_{3}$ con $R_{2}$ per inserire un valore diverso da zero in $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.5

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{2}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.5.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{2}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.5.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x + y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 5.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 5.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Passaggio 6

L'autospazio di $A$ è l'elenco dello spazio vettoriale di ciascun autovalore.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

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