Algebra lineare Esempi

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione

2

$2$ è la matrice quadrata

2 \times 2

$2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci

A

$A$ per

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 3.2

Sostituisci

I_{2}

$I_{2}$ per

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica

- λ

$- λ$ per ogni elemento della matrice.

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 + 0 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 + 0 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma

2

$2$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma

4

$4$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (3 - λ) (6 - λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = (3 - λ) (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Espandi

(3 - λ) (6 - λ)

$(3 - λ) (6 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = 3 (6 - λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 3 (6 - λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.1

Moltiplica

3

$3$ per

6

$6$ .

p (λ) = 18 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

3

$3$ .

p (λ) = 18 - 3 λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.3

Moltiplica

6

$6$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.5

Moltiplica

λ

$λ$ per

λ

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.5.1

Sposta

λ

$λ$ .

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica

λ

$λ$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.6

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.7

Moltiplica

λ^{2}

$λ^{2}$ per

1

$1$ .

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.2

Sottrai

6 λ

$6 λ$ da

- 3 λ

$- 3 λ$ .

p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

2

$2$ .

p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8$

p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8$

Passaggio 5.2.2

Sottrai

8

$8$ da

18

$18$ .

p (λ) = - 9 λ + λ^{2} + 10

$p (λ) = - 9 λ + λ^{2} + 10$

Passaggio 5.2.3

Riordina

- 9 λ

$- 9 λ$ e

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10$

p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10$

p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a

0

$0$ per trovare gli autovalori

λ

$λ$ .

λ^{2} - 9 λ + 10 = 0

$λ^{2} - 9 λ + 10 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per

λ

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 9

$b = - 9$ e

c = 10

$c = 10$ nella formula quadratica e risolvi per

λ

$λ$ .

\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Eleva

- 9

$- 9$ alla potenza di

2

$2$ .

λ = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica

- 4 \cdot 1 \cdot 10

$- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

λ = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

10

$10$ .

λ = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 40}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 40}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 40}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 40}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.3

Sottrai

40

$40$ da

81

$81$ .

λ = \frac{9 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{9 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{9 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{9 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

λ = \frac{9 \pm \sqrt{41}}{2}

$λ = \frac{9 \pm \sqrt{41}}{2}$

λ = \frac{9 \pm \sqrt{41}}{2}

$λ = \frac{9 \pm \sqrt{41}}{2}$

Passaggio 7.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

λ = \frac{9 + \sqrt{41}}{2}, \frac{9 - \sqrt{41}}{2}

$λ = \frac{9 + \sqrt{41}}{2}, \frac{9 - \sqrt{41}}{2}$

λ = \frac{9 + \sqrt{41}}{2}, \frac{9 - \sqrt{41}}{2}

$λ = \frac{9 + \sqrt{41}}{2}, \frac{9 - \sqrt{41}}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

λ = \frac{9 + \sqrt{41}}{2}, \frac{9 - \sqrt{41}}{2}

$λ = \frac{9 + \sqrt{41}}{2}, \frac{9 - \sqrt{41}}{2}$

Forma decimale:

λ = 7.70156211 \dots, 1.29843788 \dots

$λ = 7.70156211 \dots, 1.29843788 \dots$

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