Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $4$ è la matrice quadrata $4 \times 4$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] - λ I_{4})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{4}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.9.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.10.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.10.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.12

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.12.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.12.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.13

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.13.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.13.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.14

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.14.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.14.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.15

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.15.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.15.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 + 0 & - 2 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 & 9 + 0 \\ 6 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 & 9 + 0 \\ 6 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 & 9 + 0 \\ 6 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma $- 4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 & 9 + 0 \\ 6 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Somma $12$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 + 0 & 9 + 0 \\ 6 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Somma $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 + 0 \\ 6 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Somma $9$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 \\ 6 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.7

Somma $6$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 \\ 6 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.8

Somma $5$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.9

Somma $- 4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.10

Somma $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.11

Somma $- 4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.12

Somma $5$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 4 & 9 \\ 5 & - 2 - λ & - 4 \\ - 4 & 5 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 4 & 9 \\ 5 & - 2 - λ & - 4 \\ - 4 & 5 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 4 & 9 \\ 5 & - 2 - λ & - 4 \\ - 4 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Calcola $| \begin{array}{c} 1 - λ & 4 & 9 \\ 5 & - 2 - λ & - 4 \\ - 4 & 5 & 10 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 \\ 5 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 \\ 5 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 \\ 5 & 10 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2

Calcola $| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 \\ 5 & 10 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) ((- 2 - λ) (10 - λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Espandi $(- 2 - λ) (10 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 2 (10 - λ) - λ (10 - λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 2 \cdot 10 - 2 (- λ) - λ (10 - λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 2 \cdot 10 - 2 (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 - 2 (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 + 2 λ - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.3

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 + 2 λ - 10 λ - λ (- λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 + 2 λ - 10 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 + 2 λ - 10 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 + 2 λ - 10 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 + 2 λ - 10 λ + 1 λ^{2} - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 + 2 λ - 10 λ + λ^{2} - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.2

Sottrai $10 λ$ da $2 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 - 8 λ + λ^{2} - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 - 8 λ + λ^{2} + 20) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.2

Combina i termini opposti in $- 20 - 8 λ + λ^{2} + 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.2.1

Somma $- 20$ e $20$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 8 λ + λ^{2} + 0) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.2.2

Somma $- 8 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 8 λ + λ^{2}) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riordina $- 8 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3

Calcola $| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (5 (10 - λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (5 \cdot 10 + 5 (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.1.2

Moltiplica $5$ per $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (50 + 5 (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (50 - 5 λ - (- 4 \cdot - 4)) + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.1.4

Moltiplica $- (- 4 \cdot - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (50 - 5 λ - 1 \cdot 16) + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (50 - 5 λ - 16) + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.2

Sottrai $16$ da $50$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4

Calcola $| \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (5 \cdot 5 - (- 4 (- 2 - λ)))) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (25 - (- 4 (- 2 - λ)))) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (25 - (- 4 \cdot - 2 - 4 (- λ)))) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (25 - (8 - 4 (- λ)))) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (25 - (8 + 4 λ))) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (25 - 1 \cdot 8 - (4 λ))) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (25 - 8 - (4 λ))) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.1.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (25 - 8 - 4 λ)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.2

Sottrai $8$ da $25$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (17 - 4 λ)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.3

Riordina $17$ e $- 4 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Espandi $(1 - λ) (λ^{2} - 8 λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (1 (λ^{2} - 8 λ) - λ (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (1 λ^{2} + 1 (- 8 λ) - λ (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (1 λ^{2} + 1 (- 8 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.2.1.1

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 1 (- 8 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.1.2

Moltiplica $- 8 λ$ per $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.1.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.2.1.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.1.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.2.1.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - λ^{3} - λ (- 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 8 λ^{2} - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.2

Somma $λ^{2}$ e $8 λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} - 4 (- 5 λ) - 4 \cdot 34 + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.4

Moltiplica $- 5$ per $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 20 λ - 4 \cdot 34 + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.5

Moltiplica $- 4$ per $34$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 20 λ - 136 + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 20 λ - 136 + 9 (- 4 λ) + 9 \cdot 17) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.7

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 20 λ - 136 - 36 λ + 9 \cdot 17) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.8

Moltiplica $9$ per $17$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 20 λ - 136 - 36 λ + 153) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $- 8 λ$ e $20 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - λ^{3} + 12 λ - 136 - 36 λ + 153) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.3

Sottrai $36 λ$ da $12 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - λ^{3} - 24 λ - 136 + 153) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.4

Somma $- 136$ e $153$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - λ^{3} - 24 λ + 17) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.5

Riordina $9 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3

Calcola $| \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.3.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 5 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.3.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 5 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.3.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.3.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.3.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 | \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 5 & 10 - λ \end{array} | + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2

Calcola $| \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 5 & 10 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (4 (10 - λ) - 5 \cdot 9) + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (4 \cdot 10 + 4 (- λ) - 5 \cdot 9) + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (40 + 4 (- λ) - 5 \cdot 9) + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (40 - 4 λ - 5 \cdot 9) + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $9$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (40 - 4 λ - 45) + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2.2

Sottrai $45$ da $40$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.3

Calcola $| \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (12 (10 - λ) - 3 \cdot 9) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (12 \cdot 10 + 12 (- λ) - 3 \cdot 9) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Moltiplica $12$ per $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (120 + 12 (- λ) - 3 \cdot 9) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (120 - 12 λ - 3 \cdot 9) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.3.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (120 - 12 λ - 27) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.3.2.2

Sottrai $27$ da $120$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.4

Calcola $| \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 (12 \cdot 5 - 3 \cdot 4)) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1.1

Moltiplica $12$ per $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 (60 - 3 \cdot 4)) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.4.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 (60 - 12)) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.4.2.2

Sottrai $12$ da $60$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ) - 6 \cdot - 5 + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ - 6 \cdot - 5 + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.4

Espandi $(- 2 - λ) (- 12 λ + 93)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 - 2 (- 12 λ + 93) - λ (- 12 λ + 93) + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 - 2 (- 12 λ) - 2 \cdot 93 - λ (- 12 λ + 93) + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 - 2 (- 12 λ) - 2 \cdot 93 - λ (- 12 λ) - λ \cdot 93 + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.5.1.1

Moltiplica $- 12$ per $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + 24 λ - 2 \cdot 93 - λ (- 12 λ) - λ \cdot 93 + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5.1.2

Moltiplica $- 2$ per $93$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + 24 λ - 186 - λ (- 12 λ) - λ \cdot 93 + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + 24 λ - 186 - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 93 + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5.1.4

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.5.1.4.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + 24 λ - 186 - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot 93 + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5.1.4.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + 24 λ - 186 - 1 \cdot - 12 λ^{2} - λ \cdot 93 + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + 24 λ - 186 + 12 λ^{2} - λ \cdot 93 + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5.1.6

Moltiplica $93$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + 24 λ - 186 + 12 λ^{2} - 93 λ + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5.2

Sottrai $93 λ$ da $24 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 - 69 λ - 186 + 12 λ^{2} + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.6

Moltiplica $4$ per $48$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 - 69 λ - 186 + 12 λ^{2} + 192) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.2

Sottrai $69 λ$ da $24 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 45 λ + 30 - 186 + 12 λ^{2} + 192) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.3

Sottrai $186$ da $30$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 45 λ - 156 + 12 λ^{2} + 192) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.4

Somma $- 156$ e $192$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 45 λ + 12 λ^{2} + 36) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.5

Riordina $- 45 λ$ e $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$12 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.2

Calcola $| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (5 (10 - λ) - (- 4 \cdot - 4)) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (5 \cdot 10 + 5 (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Moltiplica $5$ per $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (50 + 5 (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (50 - 5 λ - (- 4 \cdot - 4)) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.2.2.1.4

Moltiplica $- (- 4 \cdot - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.4.1

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (50 - 5 λ - 1 \cdot 16) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.2.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (50 - 5 λ - 16) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.2.2.2

Sottrai $16$ da $50$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.3

Calcola $| \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (6 (10 - λ) - 3 \cdot - 4) + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (6 \cdot 10 + 6 (- λ) - 3 \cdot - 4) + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.3.2.1.2

Moltiplica $6$ per $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (60 + 6 (- λ) - 3 \cdot - 4) + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (60 - 6 λ - 3 \cdot - 4) + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.3.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (60 - 6 λ + 12) + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.3.2.2

Somma $60$ e $12$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.4

Calcola $| \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 (6 \cdot - 4 - 3 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1.1

Moltiplica $6$ per $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 (- 24 - 3 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.4.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 (- 24 - 15)) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.4.2.2

Sottrai $15$ da $- 24$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ) + 12 \cdot 34 - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.2

Moltiplica $- 5$ per $12$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 12 \cdot 34 - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.3

Moltiplica $12$ per $34$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + (- 1 \cdot 1 - - λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + (- 1 - - λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.6

Moltiplica $- - λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + (- 1 + 1 λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.6.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + (- 1 + λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.7

Espandi $(- 1 + λ) (- 6 λ + 72)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 - 1 (- 6 λ + 72) + λ (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 - 1 (- 6 λ) - 1 \cdot 72 + λ (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 - 1 (- 6 λ) - 1 \cdot 72 + λ (- 6 λ) + λ \cdot 72 + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1.8.1.1

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 6 λ - 1 \cdot 72 + λ (- 6 λ) + λ \cdot 72 + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.8.1.2

Moltiplica $- 1$ per $72$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 6 λ - 72 + λ (- 6 λ) + λ \cdot 72 + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.8.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 6 λ - 72 - 6 λ \cdot λ + λ \cdot 72 + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.8.1.4

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1.8.1.4.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 6 λ - 72 - 6 (λ \cdot λ) + λ \cdot 72 + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.8.1.4.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 6 λ - 72 - 6 λ^{2} + λ \cdot 72 + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.8.1.5

Sposta $72$ alla sinistra di $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 6 λ - 72 - 6 λ^{2} + 72 λ + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.8.2

Somma $6 λ$ e $72 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 78 λ - 72 - 6 λ^{2} + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.9

Moltiplica $9$ per $- 39$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 78 λ - 72 - 6 λ^{2} - 351) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.2

Somma $- 60 λ$ e $78 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (18 λ + 408 - 72 - 6 λ^{2} - 351) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.3

Sottrai $72$ da $408$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (18 λ + 336 - 6 λ^{2} - 351) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.4

Sottrai $351$ da $336$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (18 λ - 6 λ^{2} - 15) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.5

Riordina $18 λ$ e $- 6 λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.5

Calcola $| \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$12 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} | - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2

Calcola $| \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (5 \cdot 5 - (- 4 (- 2 - λ))) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (25 - (- 4 (- 2 - λ))) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (25 - (- 4 \cdot - 2 - 4 (- λ))) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (25 - (8 - 4 (- λ))) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (25 - (8 + 4 λ)) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (25 - 1 \cdot 8 - (4 λ)) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (25 - 8 - (4 λ)) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.1.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (25 - 8 - 4 λ) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.2

Sottrai $8$ da $25$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (17 - 4 λ) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.3

Riordina $17$ e $- 4 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3

Calcola $| \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (6 \cdot 5 - 3 (- 2 - λ)) + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.1

Moltiplica $6$ per $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (30 - 3 (- 2 - λ)) + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (30 - 3 \cdot - 2 - 3 (- λ)) + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (30 + 6 - 3 (- λ)) + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (30 + 6 + 3 λ) + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.2

Somma $30$ e $6$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (36 + 3 λ) + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.3

Riordina $36$ e $3 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 (6 \cdot - 4 - 3 \cdot 5))$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1

Moltiplica $6$ per $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 (- 24 - 3 \cdot 5))$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 (- 24 - 15))$

Passaggio 5.5.4.2.2

Sottrai $15$ da $- 24$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ) + 12 \cdot 17 - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $12$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 12 \cdot 17 - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.3

Moltiplica $12$ per $17$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 + (- 1 \cdot 1 - - λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 + (- 1 - - λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.6

Moltiplica $- - λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 + (- 1 + 1 λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.6.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 + (- 1 + λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.7

Espandi $(- 1 + λ) (3 λ + 36)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 1 (3 λ + 36) + λ (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 1 (3 λ) - 1 \cdot 36 + λ (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 1 (3 λ) - 1 \cdot 36 + λ (3 λ) + λ \cdot 36 + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1.8.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 3 λ - 1 \cdot 36 + λ (3 λ) + λ \cdot 36 + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.8.1.2

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 3 λ - 36 + λ (3 λ) + λ \cdot 36 + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.8.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 3 λ - 36 + 3 λ \cdot λ + λ \cdot 36 + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.8.1.4

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1.8.1.4.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 3 λ - 36 + 3 (λ \cdot λ) + λ \cdot 36 + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.8.1.4.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 3 λ - 36 + 3 λ^{2} + λ \cdot 36 + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.8.1.5

Sposta $36$ alla sinistra di $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 3 λ - 36 + 3 λ^{2} + 36 λ + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.8.2

Somma $- 3 λ$ e $36 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 + 33 λ - 36 + 3 λ^{2} + 4 \cdot - 39)$

Passaggio 5.5.5.1.9

Moltiplica $4$ per $- 39$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 + 33 λ - 36 + 3 λ^{2} - 156)$

Passaggio 5.5.5.2

Somma $- 48 λ$ e $33 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 15 λ + 204 - 36 + 3 λ^{2} - 156)$

Passaggio 5.5.5.3

Sottrai $36$ da $204$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 15 λ + 168 + 3 λ^{2} - 156)$

Passaggio 5.5.5.4

Sottrai $156$ da $168$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 15 λ + 3 λ^{2} + 12)$

Passaggio 5.5.5.5

Riordina $- 15 λ$ e $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Espandi $(- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = - 2 (- λ^{3}) - 2 (9 λ^{2}) - 2 (- 24 λ) - 2 \cdot 17 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 2 (9 λ^{2}) - 2 (- 24 λ) - 2 \cdot 17 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.2

Moltiplica $9$ per $- 2$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} - 2 (- 24 λ) - 2 \cdot 17 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.3

Moltiplica $- 24$ per $- 2$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 2 \cdot 17 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.4

Moltiplica $- 2$ per $17$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.6

Moltiplica $λ$ per $λ^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.6.1

Sposta $λ^{3}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.6.2

Moltiplica $λ^{3}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.6.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.6.3

Somma $3$ e $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + 1 λ^{4} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.8

Moltiplica $λ^{4}$ per $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 1 \cdot 9 λ \cdot λ^{2} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.10

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.10.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 1 \cdot 9 (λ^{2} λ) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.10.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.10.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 1 \cdot 9 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.10.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 1 \cdot 9 λ^{2 + 1} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 1 \cdot 9 λ^{3} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.11

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 9 λ^{3} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.12

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 9 λ^{3} - 1 \cdot - 24 λ \cdot λ - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.13

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.13.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 9 λ^{3} - 1 \cdot - 24 (λ \cdot λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.13.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 9 λ^{3} - 1 \cdot - 24 λ^{2} - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.14

Moltiplica $- 1$ per $- 24$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 9 λ^{3} + 24 λ^{2} - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2.15

Moltiplica $17$ per $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 9 λ^{3} + 24 λ^{2} - 17 λ - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.3

Sottrai $9 λ^{3}$ da $2 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} + 24 λ^{2} - 17 λ - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.4

Somma $- 18 λ^{2}$ e $24 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 17 λ - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.5

Sottrai $17 λ$ da $48 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 1 (12 λ^{2}) - 1 (- 45 λ) - 1 \cdot 36 - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.7.1

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} - 1 (- 45 λ) - 1 \cdot 36 - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.7.2

Moltiplica $- 45$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 1 \cdot 36 - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.7.3

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 - 2 (- 6 λ^{2}) - 2 (18 λ) - 2 \cdot - 15 + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.9.1

Moltiplica $- 6$ per $- 2$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 2 (18 λ) - 2 \cdot - 15 + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.9.2

Moltiplica $18$ per $- 2$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 36 λ - 2 \cdot - 15 + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.9.3

Moltiplica $- 2$ per $- 15$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 36 λ + 30 + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 36 λ + 30 + 4 (3 λ^{2}) + 4 (- 15 λ) + 4 \cdot 12$

Passaggio 5.6.1.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.11.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 36 λ + 30 + 12 λ^{2} + 4 (- 15 λ) + 4 \cdot 12$

Passaggio 5.6.1.11.2

Moltiplica $- 15$ per $4$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 36 λ + 30 + 12 λ^{2} - 60 λ + 4 \cdot 12$

Passaggio 5.6.1.11.3

Moltiplica $4$ per $12$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 36 λ + 30 + 12 λ^{2} - 60 λ + 48$

Passaggio 5.6.2

Combina i termini opposti in $- 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 36 λ + 30 + 12 λ^{2} - 60 λ + 48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Somma $- 12 λ^{2}$ e $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} + 45 λ - 36 + 0 - 36 λ + 30 + 12 λ^{2} - 60 λ + 48$

Passaggio 5.6.2.2

Somma $- 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} + 45 λ - 36$ e $0$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} + 45 λ - 36 - 36 λ + 30 + 12 λ^{2} - 60 λ + 48$

Passaggio 5.6.3

Somma $6 λ^{2}$ e $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} + 45 λ - 36 - 36 λ + 30 - 60 λ + 48$

Passaggio 5.6.4

Somma $31 λ$ e $45 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} + 76 λ - 34 + λ^{4} - 36 - 36 λ + 30 - 60 λ + 48$

Passaggio 5.6.5

Sottrai $36 λ$ da $76 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} + 40 λ - 34 + λ^{4} - 36 + 30 - 60 λ + 48$

Passaggio 5.6.6

Sottrai $60 λ$ da $40 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} - 20 λ - 34 + λ^{4} - 36 + 30 + 48$

Passaggio 5.6.7

Sottrai $36$ da $- 34$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} - 20 λ + λ^{4} - 70 + 30 + 48$

Passaggio 5.6.8

Somma $- 70$ e $30$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} - 20 λ + λ^{4} - 40 + 48$

Passaggio 5.6.9

Somma $- 40$ e $48$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} - 20 λ + λ^{4} + 8$

Passaggio 5.6.10

Sposta $- 20 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} + λ^{4} - 20 λ + 8$

Passaggio 5.6.11

Sposta $18 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + λ^{4} + 18 λ^{2} - 20 λ + 8$

Passaggio 5.6.12

Riordina $- 7 λ^{3}$ e $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} - 20 λ + 8$

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