Esempi

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione

3

$3$ è la matrice quadrata

3 \times 3

$3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in

p (λ) = determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}]$ a

A

$A$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ I_{3} ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 3.2

Sostituisci

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ a

I_{3}

$I_{3}$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica

- λ

$- λ$ per ogni elemento della matrice.

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica

$0$ per

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica

$0$ per

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma

$2$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma

$1$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma

$1$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Sottrai

$λ$ da

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Somma

$0$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Somma

$0$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 \\ 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.7

Somma

$2$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 \\ 0 & 2 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

$0$ . Se non ci sono elementi

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella colonna

$1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

$-$ .

Passaggio 5.1.3

Il minore per

$a_{11}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica l'elemento

$a_{11}$ per il suo cofattore.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

Il minore per

$a_{21}$ è il determinante con riga

$2$ e colonna

$1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Moltiplica l'elemento

$a_{21}$ per il suo cofattore.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

Il minore per

$a_{31}$ è il determinante con riga

$3$ e colonna

$1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Moltiplica l'elemento

$a_{31}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

Somma i termini.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Moltiplica

$0$ per

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3

Calcola

$| \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ (1 - λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - λ (- λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3.2.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.4.1

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.4.1.1

Sposta

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3.2.1.4.1.2

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3.2.1.4.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3.2.1.4.3

Moltiplica

$λ^{2}$ per

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3.2.1.5

Moltiplica

$- 2$ per

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2} + 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3.2.2

Somma

$- λ + λ^{2}$ e

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2}) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.3.2.3

Riordina

$- λ$ e

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.4

Calcola

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 (1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 \cdot 1 + 2 (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 + 2 (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.3

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 - 2 λ - 2 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.4

Moltiplica

$- 2$ per

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 - 2 λ - 2) + 0$

Passaggio 5.4.2.2

Combina i termini opposti in

$2 - 2 λ - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Sottrai

$2$ da

$2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ + 0) + 0$

Passaggio 5.4.2.2.2

Somma

$- 2 λ$ e

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ) + 0$

Passaggio 5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Somma

$(2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$ e

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Espandi

$(2 - λ) (λ^{2} - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 2 (λ^{2} - λ) - λ (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- λ) - λ (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Moltiplica

$λ$ per

$λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.2.1

Sposta

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ) - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2.2.1.2.2

Moltiplica

$λ^{2}$ per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.2.2.1

Eleva

$λ$ alla potenza di

$1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{2 + 1} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2.2.1.2.3

Somma

$2$ e

$1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2.2.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2.2.1.4

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.4.1

Sposta

$λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2.2.1.4.2

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2.2.1.5

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2.2.1.6

Moltiplica

$λ^{2}$ per

$1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2.2.2

Somma

$2 λ^{2}$ e

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 (- 2 λ)$

Passaggio 5.5.2.3

Moltiplica

$- 2$ per

$- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 2 λ$

Passaggio 5.5.3

Combina i termini opposti in

$3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 2 λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Somma

$- 2 λ$ e

$2 λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - λ^{3} + 0$

Passaggio 5.5.3.2

Somma

$3 λ^{2} - λ^{3}$ e

$0$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - λ^{3}$

Passaggio 5.5.4

Riordina

$3 λ^{2}$ e

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2}$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a

$0$ per trovare gli autovalori

$λ$ .

$- λ^{3} + 3 λ^{2} = 0$

Passaggio 7

Risolvi per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi

$- λ^{2}$ da

$- λ^{3} + 3 λ^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi

$- λ^{2}$ da

$- λ^{3}$ .

$- λ^{2} λ + 3 λ^{2} = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi

$- λ^{2}$ da

$3 λ^{2}$ .

$- λ^{2} λ - λ^{2} \cdot - 3 = 0$

Passaggio 7.1.3

Scomponi

$- λ^{2}$ da

$- λ^{2} (λ) - λ^{2} (- 3)$ .

$- λ^{2} (λ - 3) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$λ^{2} = 0$

$λ - 3 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta

$λ^{2}$ uguale a

$0$ e risolvi per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Imposta

$λ^{2}$ uguale a

$0$ .

$λ^{2} = 0$

Passaggio 7.3.2

Risolvi

$λ^{2} = 0$ per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica

$\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Riscrivi

$0$ come

$0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 7.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$λ = \pm 0$

Passaggio 7.3.2.2.3

Più o meno

$0$ è

$0$ .

$λ = 0$

Passaggio 7.4

Imposta

$λ - 3$ uguale a

$0$ e risolvi per

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Imposta

$λ - 3$ uguale a

$0$ .

$λ - 3 = 0$

Passaggio 7.4.2

Somma

$3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 3$

Passaggio 7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$- λ^{2} (λ - 3) = 0$ vera.

$λ = 0, 3$

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