Esempi

A = [\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}]

$A = [\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione

2

$2$ è la matrice quadrata

2 \times 2

$2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci

[\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}]$ a

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 3.2

Sostituisci

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ a

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica

- λ

$- λ$ per ogni elemento della matrice.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 2 - λ & 1 + 0 4 + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 4 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma

1

$1$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 2 - λ & 1 4 + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma

4

$4$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 2 - λ & 1 4 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Sottrai

λ

$λ$ da

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 2 - λ & 1 4 & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 2 - λ & 1 4 & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 2 - λ & 1 4 & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (2 - λ) (- λ) - 4 \cdot 1

$p (λ) = (2 - λ) (- λ) - 4 \cdot 1$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = 2 (- λ) - λ (- λ) - 4 \cdot 1

$p (λ) = 2 (- λ) - λ (- λ) - 4 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2

$2$ .

p (λ) = - 2 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1.1

Sposta

$λ$ .

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.4.1.2

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ .

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.4.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.4.3

Moltiplica

$λ^{2}$ per

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4$

Passaggio 5.2.2

Riordina

$- 2 λ$ e

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4$

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