Esempi

$(5, - 3)$ , $(4, - 3)$ , $(- 5, - 3)$

Passaggio 1

Ci sono due equazioni generali per un'iperbole.

Equazione dell'iperbole orizzontale $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equazione dell'iperbole verticale $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 2

$a$ è la distanza tra il vertice $(4, - 3)$ e il punto di centro $(5, - 3)$ .

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Passaggio 2.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Sottrai $5$ da $4$ .

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{1 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$a = \sqrt{1 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Somma $- 3$ e $3$ .

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$a = \sqrt{1 + 0}$

Passaggio 2.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$a = \sqrt{1}$

Passaggio 2.3.7

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$a = 1$

Passaggio 3

$c$ è la distanza tra il fuoco $(- 5, - 3)$ e il centro $(5, - 3)$ .

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Passaggio 3.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Sottrai $5$ da $- 5$ .

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{100 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$c = \sqrt{100 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Somma $- 3$ e $3$ .

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$c = \sqrt{100 + 0}$

Passaggio 3.3.6

Somma $100$ e $0$ .

$c = \sqrt{100}$

Passaggio 3.3.7

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$c = \sqrt{10^{2}}$

Passaggio 3.3.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$c = 10$

Passaggio 4

Usare l'equazione $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Sostituisci $1$ a $a$ e $10$ a $c$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come ${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ .

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Passaggio 4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Passaggio 4.3

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$1 + b^{2} = 100$

Passaggio 4.4

Sposta tutti i termini non contenenti $b$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b^{2} = 100 - 1$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $1$ da $100$ .

$b^{2} = 99$

Passaggio 4.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$b = \pm \sqrt{99}$

Passaggio 4.6

Semplifica $\pm \sqrt{99}$ .

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Passaggio 4.6.1

Riscrivi $99$ come $3^{2} \cdot 11$ .

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Passaggio 4.6.1.1

Scomponi $9$ da $99$ .

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Passaggio 4.6.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Passaggio 4.6.2

Estrai i termini dal radicale.

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Passaggio 4.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.7.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$b = 3 \sqrt{11}$

Passaggio 4.7.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$b = - 3 \sqrt{11}$

Passaggio 4.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Passaggio 5

$b$ è una distanza, quindi dovrebbe essere un numero positivo.

$b = 3 \sqrt{11}$

Passaggio 6

Il coefficiente angolare della retta tra il fuoco $(- 5, - 3)$ e il centro $(5, - 3)$ determina se l'iperbole è verticale o orizzontale. Se il coefficiente angolare è $0$ , il grafico è orizzontale. Se è indefinito, il grafico è verticale.

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Passaggio 6.1

Il coefficiente angolare è uguale alla variazione in $y$ sulla variazione in $x$ , o ascissa e ordinata.

$m = \frac{variazione in y}{variazione in x}$

Passaggio 6.2

La variazione in $x$ è uguale alla differenza nelle coordinate x (differenza tra ascisse) e la variazione in $y$ è uguale alla differenza nelle coordinate y (differenza tra ordinate).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci i valori di $x$ e $y$ nell'equazione per trovare il coefficiente angolare.

$m = \frac{- 3 - (- 3)}{5 - (- 5)}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

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Passaggio 6.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$m = \frac{- 3 + 3}{5 - (- 5)}$

Passaggio 6.4.1.2

Somma $- 3$ e $3$ .

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Passaggio 6.4.2.2

Somma $5$ e $5$ .

$m = \frac{0}{10}$

Passaggio 6.4.3

Dividi $0$ per $10$ .

$m = 0$

Passaggio 6.5

L'equazione generale per un'iperbole orizzontale è $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 7

Sostituisci i valori $h = 5$ , $k = - 3$ , $a = 1$ e $b = 3 \sqrt{11}$ in $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ per ottenere l'equazione dell'iperbole $\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Passaggio 8

Semplifica per trovare l'equazione finale dell'iperbole.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.3

Dividi ${(x - 5)}^{2}$ per $1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.5.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{11}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Passaggio 8.5.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Passaggio 8.5.3

Riscrivi ${\sqrt{11}}^{2}$ come $11$ .

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Passaggio 8.5.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{11}$ come $11^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.5.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Passaggio 8.5.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.5.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.5.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Passaggio 8.5.3.5

Calcola l'esponente.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Passaggio 8.6

Moltiplica $9$ per $11$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{99} = 1$

Passaggio 9

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