Esempi

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ ,

(1, 2, 3)

$(1, 2, 3)$ ,

(2, 2, 2)

$(2, 2, 2)$ ,

(4, 7, 10)

$(4, 7, 10)$

Passaggio 1

Dati i punti

C = (2, 2, 2)

$C = (2, 2, 2)$ e

D = (4, 7, 10)

$D = (4, 7, 10)$ , trova un piano contenente i punti

A = (1, 1, 1)

$A = (1, 1, 1)$ e

B = (1, 2, 3)

$B = (1, 2, 3)$ che sia parallelo alla retta

CD

$CD$ .

A = (1, 1, 1)

$A = (1, 1, 1)$

B = (1, 2, 3)

$B = (1, 2, 3)$

C = (2, 2, 2)

$C = (2, 2, 2)$

D = (4, 7, 10)

$D = (4, 7, 10)$

Passaggio 2

Innanzitutto, calcola il vettore direzionale della retta passante per i punti

C

$C$ e

D

$D$ . Ciò può essere effettuato prendendo il valori delle coordinate del punto

C

$C$ e sottraendole dal punto

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Passaggio 3

Sostituisci i valori

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ quindi semplifica per ottenere il vettore direttore

V_{CD}

$V_{CD}$ per la retta

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ 2, 5, 8 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 2, 5, 8 ⟩$

Passaggio 4

Calcola il vettore direttore di una retta attraverso i punti

A

$A$ e

B

$B$ usando lo stesso metodo.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Passaggio 5

Sostituisci i valori

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ quindi semplifica per ottenere il vettore direttore

V_{AB}

$V_{AB}$ per la retta

AB

$AB$ .

V_{AB} = ⟨ 0, 1, 2 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 0, 1, 2 ⟩$

Passaggio 6

Il piano della soluzione conterrà una retta che a sua volta contiene i punti

A

$A$ e

B

$B$ e il vettore direttore

V_{A B}

$V_{A B}$ . Per far sì che questo piano sia parallelo alla retta

C D

$C D$ , trova il vettore normale del piano, che è anche ortogonale al vettore direttore della retta

C D

$C D$ . Calcola il vettore normale trovando il prodotto vettoriale

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ attraverso il determinante della matrice

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 0 & 1 & 2 2 & 5 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 8 \end{array}]$

Passaggio 7

Calcola il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

0

$0$ . Se non ci sono elementi

0

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga

1

$1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 7.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

-

$-$ .

Passaggio 7.1.3

Il minore per

a_{11}

$a_{11}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

1

$1$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica l'elemento

a_{11}

$a_{11}$ per il suo cofattore.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

Passaggio 7.1.5

Il minore per

a_{12}

$a_{12}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Passaggio 7.1.6

Moltiplica l'elemento

a_{12}

$a_{12}$ per il suo cofattore.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j$

Passaggio 7.1.7

Il minore per

a_{13}

$a_{13}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

3

$3$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$

Passaggio 7.1.8

Moltiplica l'elemento

a_{13}

$a_{13}$ per il suo cofattore.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.1.9

Somma i termini.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.2

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i (1 \cdot 8 - 5 \cdot 2) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (1 \cdot 8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Moltiplica

8

$8$ per

1

$1$ .

i (8 - 5 \cdot 2) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica

- 5

$- 5$ per

2

$2$ .

i (8 - 10) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i (8 - 10) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai

10

$10$ da

8

$8$ .

i \cdot - 2 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.3

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 2 - (0 \cdot 8 - 2 \cdot 2) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - (0 \cdot 8 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Moltiplica

0

$0$ per

8

$8$ .

i \cdot - 2 - (0 - 2 \cdot 2) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - (0 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

2

$2$ .

i \cdot - 2 - (0 - 4) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - (0 - 4) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2.2

Sottrai

4

$4$ da

0

$0$ .

i \cdot - 2 - - 4 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - - 4 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - - 4 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Passaggio 7.4

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 \cdot 5 - 2 \cdot 1) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 \cdot 5 - 2 \cdot 1) k$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

Moltiplica

0

$0$ per

5

$5$ .

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2 \cdot 1) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2 \cdot 1) k$

Passaggio 7.4.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

1

$1$ .

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k$

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k$

Passaggio 7.4.2.2

Sottrai

2

$2$ da

0

$0$ .

i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

Passaggio 7.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sposta

- 2

$- 2$ alla sinistra di

i

$i$ .

- 2 \cdot i - - 4 j - 2 k

$- 2 \cdot i - - 4 j - 2 k$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 4

$- 4$ .

- 2 i + 4 j - 2 k

$- 2 i + 4 j - 2 k$

- 2 i + 4 j - 2 k

$- 2 i + 4 j - 2 k$

- 2 i + 4 j - 2 k

$- 2 i + 4 j - 2 k$

Passaggio 8

Risolvi l'espressione

(- 2) x + (4) y + (- 2) z

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z$ al punto

A

$A$ poiché si trova sul piano. Questo è usato per calcolare la costante nell'equazione per il piano.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

1

$1$ .

- 2 + (4) \cdot 1 + (- 2) \cdot 1

$- 2 + (4) \cdot 1 + (- 2) \cdot 1$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica

4

$4$ per

1

$1$ .

- 2 + 4 + (- 2) \cdot 1

$- 2 + 4 + (- 2) \cdot 1$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

1

$1$ .

- 2 + 4 - 2

$- 2 + 4 - 2$

- 2 + 4 - 2

$- 2 + 4 - 2$

Passaggio 8.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Somma

- 2

$- 2$ e

4

$4$ .

2 - 2

$2 - 2$

Passaggio 8.2.2

Sottrai

2

$2$ da

2

$2$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Passaggio 9

Aggiungi la costante per trovare l'equazione del piano

(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$ .

(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$

Passaggio 10

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

z

$z$ .

- 2 x + 4 y - 2 z = 0

$- 2 x + 4 y - 2 z = 0$

Inserisci il TUO problema