Matematica discreta Esempi

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.3 \\ 5 & 0.4 \\ 10 & 0.1 \\ 12 & 0.2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.3 \\ 5 & 0.4 \\ 10 & 0.1 \\ 12 & 0.2 \end{array}$

Passaggio 1

Dimostra che la tabella soddisfa le due proprietà necessarie per una distribuzione di probabilità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Una variabile casuale discreta

x

$x$ assume una serie di valori separati (ad esempio

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). La sua distribuzione di probabilità assegna una probabilità

P (x)

$P (x)$ a ciascun valore possibile

x

$x$ . Per ciascun valore

x

$x$ , la probabilità

P (x)

$P (x)$ è compresa tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi e la somma delle probabilità per tutti i valori

x

$x$ possibili equivale a

1

$1$ .

1. Per ogni

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Passaggio 1.2

0.3

$0.3$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.3

$0.3$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.3

0.4

$0.4$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.4

$0.4$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.4

0.1

$0.1$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.1

$0.1$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.5

0.2

$0.2$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.2

$0.2$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.6

Per ogni

x

$x$ , la probabilità

P (x)

$P (x)$ rientra tra

0

$0$ e

1

$1$ compresi, che soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori di x

Passaggio 1.7

Trova la somma delle probabilità per tutti i possibili valori di

x

$x$ .

0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2

$0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2$

Passaggio 1.8

La somma delle probabilità per tutti i possibili valori di

x

$x$ è

0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma

0.3

$0.3$ e

0.4

$0.4$ .

0.7 + 0.1 + 0.2

$0.7 + 0.1 + 0.2$

Passaggio 1.8.2

Somma

0.7

$0.7$ e

0.1

$0.1$ .

0.8 + 0.2

$0.8 + 0.2$

Passaggio 1.8.3

Somma

0.8

$0.8$ e

0.2

$0.2$ .

1

$1$

1

$1$

Passaggio 1.9

Per ogni

x

$x$ , la probabilità di

P (x)

$P (x)$ rientra tra

0

$0$ e

1

$1$ compresi. Inoltre, la somma delle probabilità per tutti i possibili

x

$x$ è uguale a

1

$1$ , il che significa che la tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità.

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori

x

$x$

Proprietà 2:

0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1$

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori

x

$x$

Proprietà 2:

0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1$

Passaggio 2

La media attesa di una distribuzione è il valore previsto se le prove della distribuzione continuassero indefinitamente. Equivale a ciascun valore moltiplicato per la sua probabilità discreta.

u = 3 \cdot 0.3 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2

$u = 3 \cdot 0.3 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica

3

$3$ per

0.3

$0.3$ .

u = 0.9 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2

$u = 0.9 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

Passaggio 3.2

Moltiplica

5

$5$ per

0.4

$0.4$ .

u = 0.9 + 2 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2

$u = 0.9 + 2 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

Passaggio 3.3

Moltiplica

10

$10$ per

0.1

$0.1$ .

u = 0.9 + 2 + 1 + 12 \cdot 0.2

$u = 0.9 + 2 + 1 + 12 \cdot 0.2$

Passaggio 3.4

Moltiplica

12

$12$ per

0.2

$0.2$ .

u = 0.9 + 2 + 1 + 2.4

$u = 0.9 + 2 + 1 + 2.4$

u = 0.9 + 2 + 1 + 2.4

$u = 0.9 + 2 + 1 + 2.4$

Passaggio 4

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma

0.9

$0.9$ e

2

$2$ .

u = 2.9 + 1 + 2.4

$u = 2.9 + 1 + 2.4$

Passaggio 4.2

Somma

2.9

$2.9$ e

1

$1$ .

u = 3.9 + 2.4

$u = 3.9 + 2.4$

Passaggio 4.3

Somma

3.9

$3.9$ e

2.4

$2.4$ .

u = 6.3

$u = 6.3$

u = 6.3

$u = 6.3$

Passaggio 5

La varianza di una distribuzione è una misura della dispersione ed è uguale al quadrato dello scarto quadratico medio.

s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Passaggio 6

Inserisci i valori noti.

{(3 - (6.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

${(3 - (6.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

6.3

$6.3$ .

{(3 - 6.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

${(3 - 6.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.2

Sottrai

6.3

$6.3$ da

3

$3$ .

{(- 3.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

${(- 3.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.3

Eleva

- 3.3

$- 3.3$ alla potenza di

2

$2$ .

10.89 \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

$10.89 \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica

10.89

$10.89$ per

0.3

$0.3$ .

3.267 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

$3.267 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.5

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

6.3

$6.3$ .

3.267 + {(5 - 6.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

$3.267 + {(5 - 6.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.6

Sottrai

6.3

$6.3$ da

5

$5$ .

3.267 + {(- 1.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

$3.267 + {(- 1.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.7

Eleva

- 1.3

$- 1.3$ alla potenza di

2

$2$ .

3.267 + 1.69 \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

$3.267 + 1.69 \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.8

Moltiplica

1.69

$1.69$ per

0.4

$0.4$ .

3.267 + 0.676 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

$3.267 + 0.676 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.9

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

6.3

$6.3$ .

3.267 + 0.676 + {(10 - 6.3)}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

$3.267 + 0.676 + {(10 - 6.3)}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.10

Sottrai

6.3

$6.3$ da

10

$10$ .

3.267 + 0.676 + {3.7}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

$3.267 + 0.676 + {3.7}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.11

Eleva

3.7

$3.7$ alla potenza di

2

$2$ .

3.267 + 0.676 + 13.69 \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

$3.267 + 0.676 + 13.69 \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.12

Moltiplica

13.69

$13.69$ per

0.1

$0.1$ .

3.267 + 0.676 + 1.369 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

$3.267 + 0.676 + 1.369 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.13

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

6.3

$6.3$ .

3.267 + 0.676 + 1.369 + {(12 - 6.3)}^{2} \cdot 0.2

$3.267 + 0.676 + 1.369 + {(12 - 6.3)}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.14

Sottrai

6.3

$6.3$ da

12

$12$ .

3.267 + 0.676 + 1.369 + {5.7}^{2} \cdot 0.2

$3.267 + 0.676 + 1.369 + {5.7}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.15

Eleva

5.7

$5.7$ alla potenza di

2

$2$ .

3.267 + 0.676 + 1.369 + 32.49 \cdot 0.2

$3.267 + 0.676 + 1.369 + 32.49 \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.16

Moltiplica

32.49

$32.49$ per

0.2

$0.2$ .

3.267 + 0.676 + 1.369 + 6.498

$3.267 + 0.676 + 1.369 + 6.498$

3.267 + 0.676 + 1.369 + 6.498

$3.267 + 0.676 + 1.369 + 6.498$

Passaggio 7.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma

3.267

$3.267$ e

0.676

$0.676$ .

3.943 + 1.369 + 6.498

$3.943 + 1.369 + 6.498$

Passaggio 7.2.2

Somma

3.943

$3.943$ e

1.369

$1.369$ .

5.312 + 6.498

$5.312 + 6.498$

Passaggio 7.2.3

Somma

5.312

$5.312$ e

6.498

$6.498$ .

11.81

$11.81$

11.81

$11.81$

11.81

$11.81$

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