Matematica discreta Esempi

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.1 \\ 6 & 0.2 \\ 8 & 0.3 \\ 11 & 0.2 \\ 15 & 0.2 \end{array}$

Passaggio 1

Dimostra che la tabella soddisfa le due proprietà necessarie per una distribuzione di probabilità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Una variabile casuale discreta $x$ assume una serie di valori separati (ad esempio $0$ , $1$ , $2$ ...). La sua distribuzione di probabilità assegna una probabilità $P (x)$ a ciascun valore possibile $x$ . Per ciascun valore $x$ , la probabilità $P (x)$ è compresa tra $0$ e $1$ inclusi e la somma delle probabilità per tutti i valori $x$ possibili equivale a $1$ .

1. Per ogni $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Passaggio 1.2

$0.1$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.1$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.3

$0.2$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.2$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.4

$0.3$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.3$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.5

$0.2$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.2$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.6

Per ogni $x$ , la probabilità $P (x)$ rientra tra $0$ e $1$ compresi, che soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori di x

Passaggio 1.7

Trova la somma delle probabilità per tutti i possibili valori di $x$ .

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

Passaggio 1.8

La somma delle probabilità per tutti i possibili valori di $x$ è $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $0.1$ e $0.2$ .

$0.3 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

Passaggio 1.8.2

Somma $0.3$ e $0.3$ .

$0.6 + 0.2 + 0.2$

Passaggio 1.8.3

Somma $0.6$ e $0.2$ .

$0.8 + 0.2$

Passaggio 1.8.4

Somma $0.8$ e $0.2$ .

$1$

Passaggio 1.9

Per ogni $x$ , la probabilità di $P (x)$ rientra tra $0$ e $1$ compresi. Inoltre, la somma delle probabilità per tutti i possibili $x$ è uguale a $1$ , il che significa che la tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità.

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori $x$

Proprietà 2: $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori $x$

Proprietà 2: $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

Passaggio 2

La media attesa di una distribuzione è il valore previsto se le prove della distribuzione continuassero indefinitamente. Equivale a ciascun valore moltiplicato per la sua probabilità discreta.

$u = 3 \cdot 0.1 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $3$ per $0.1$ .

$u = 0.3 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Passaggio 3.2

Moltiplica $6$ per $0.2$ .

$u = 0.3 + 1.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Passaggio 3.3

Moltiplica $8$ per $0.3$ .

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Passaggio 3.4

Moltiplica $11$ per $0.2$ .

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 15 \cdot 0.2$

Passaggio 3.5

Moltiplica $15$ per $0.2$ .

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 3$

Passaggio 4

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma $0.3$ e $1.2$ .

$u = 1.5 + 2.4 + 2.2 + 3$

Passaggio 4.2

Somma $1.5$ e $2.4$ .

$u = 3.9 + 2.2 + 3$

Passaggio 4.3

Somma $3.9$ e $2.2$ .

$u = 6.1 + 3$

Passaggio 4.4

Somma $6.1$ e $3$ .

$u = 9.1$

Passaggio 5

La varianza di una distribuzione è una misura della dispersione ed è uguale al quadrato dello scarto quadratico medio.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Passaggio 6

Inserisci i valori noti.

${(3 - (9.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica $- 1$ per $9.1$ .

${(3 - 9.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.2

Sottrai $9.1$ da $3$ .

${(- 6.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.3

Eleva $- 6.1$ alla potenza di $2$ .

$37.21 \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $37.21$ per $0.1$ .

$3.721 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $9.1$ .

$3.721 + {(6 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.6

Sottrai $9.1$ da $6$ .

$3.721 + {(- 3.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.7

Eleva $- 3.1$ alla potenza di $2$ .

$3.721 + 9.61 \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.8

Moltiplica $9.61$ per $0.2$ .

$3.721 + 1.922 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.9

Moltiplica $- 1$ per $9.1$ .

$3.721 + 1.922 + {(8 - 9.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.10

Sottrai $9.1$ da $8$ .

$3.721 + 1.922 + {(- 1.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.11

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$3.721 + 1.922 + 1.21 \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.12

Moltiplica $1.21$ per $0.3$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.13

Moltiplica $- 1$ per $9.1$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {(11 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.14

Sottrai $9.1$ da $11$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {1.9}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.15

Eleva $1.9$ alla potenza di $2$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 3.61 \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.16

Moltiplica $3.61$ per $0.2$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.17

Moltiplica $- 1$ per $9.1$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {(15 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.18

Sottrai $9.1$ da $15$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {5.9}^{2} \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.19

Eleva $5.9$ alla potenza di $2$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 34.81 \cdot 0.2$

Passaggio 7.1.20

Moltiplica $34.81$ per $0.2$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 6.962$

Passaggio 7.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $3.721$ e $1.922$ .

$5.643 + 0.363 + 0.722 + 6.962$

Passaggio 7.2.2

Somma $5.643$ e $0.363$ .

$6.006 + 0.722 + 6.962$

Passaggio 7.2.3

Somma $6.006$ e $0.722$ .

$6.728 + 6.962$

Passaggio 7.2.4

Somma $6.728$ e $6.962$ .

$13.69$

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