Matematica discreta Esempi

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 4 & 0.4 \\ 7 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 11 & 0.1 \\ 13 & 0.1 \\ 17 & 0.1 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 4 & 0.4 \\ 7 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 11 & 0.1 \\ 13 & 0.1 \\ 17 & 0.1 \end{array}$

Passaggio 1

Dimostra che la tabella soddisfa le due proprietà necessarie per una distribuzione di probabilità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Una variabile casuale discreta

x

$x$ assume una serie di valori separati (ad esempio

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). La sua distribuzione di probabilità assegna una probabilità

P (x)

$P (x)$ a ciascun valore possibile

x

$x$ . Per ciascun valore

x

$x$ , la probabilità

P (x)

$P (x)$ è compresa tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi e la somma delle probabilità per tutti i valori

x

$x$ possibili equivale a

1

$1$ .

1. Per ogni

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Passaggio 1.2

0.4

$0.4$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.4

$0.4$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.3

0.2

$0.2$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.2

$0.2$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.4

0.1

$0.1$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.1

$0.1$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.5

Per ogni

x

$x$ , la probabilità

P (x)

$P (x)$ rientra tra

0

$0$ e

1

$1$ compresi, che soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori di x

Passaggio 1.6

Trova la somma delle probabilità per tutti i possibili valori di

x

$x$ .

0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

Passaggio 1.7

La somma delle probabilità per tutti i possibili valori di

x

$x$ è

0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Somma

0.4

$0.4$ e

0.2

$0.2$ .

0.6 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1

$0.6 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

Passaggio 1.7.2

Somma

0.6

$0.6$ e

0.1

$0.1$ .

0.7 + 0.1 + 0.1 + 0.1

$0.7 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

Passaggio 1.7.3

Somma

0.7

$0.7$ e

0.1

$0.1$ .

0.8 + 0.1 + 0.1

$0.8 + 0.1 + 0.1$

Passaggio 1.7.4

Somma

0.8

$0.8$ e

0.1

$0.1$ .

0.9 + 0.1

$0.9 + 0.1$

Passaggio 1.7.5

Somma

0.9

$0.9$ e

0.1

$0.1$ .

1

$1$

1

$1$

Passaggio 1.8

Per ogni

x

$x$ , la probabilità di

P (x)

$P (x)$ rientra tra

0

$0$ e

1

$1$ compresi. Inoltre, la somma delle probabilità per tutti i possibili

x

$x$ è uguale a

1

$1$ , il che significa che la tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità.

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori

x

$x$

Proprietà 2:

0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori

x

$x$

Proprietà 2:

0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$

Passaggio 2

La media attesa di una distribuzione è il valore previsto se le prove della distribuzione continuassero indefinitamente. Equivale a ciascun valore moltiplicato per la sua probabilità discreta.

4 \cdot 0.4 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$4 \cdot 0.4 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica

4

$4$ per

0.4

$0.4$ .

1.6 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Passaggio 3.2

Moltiplica

7

$7$ per

0.2

$0.2$ .

1.6 + 1.4 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 1.4 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Passaggio 3.3

Moltiplica

9

$9$ per

0.1

$0.1$ .

1.6 + 1.4 + 0.9 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Passaggio 3.4

Moltiplica

11

$11$ per

0.1

$0.1$ .

1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Passaggio 3.5

Moltiplica

13

$13$ per

0.1

$0.1$ .

1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 17 \cdot 0.1$

Passaggio 3.6

Moltiplica

17

$17$ per

0.1

$0.1$ .

1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

Passaggio 4

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma

1.6

$1.6$ e

1.4

$1.4$ .

3 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7

$3 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

Passaggio 4.2

Somma

3

$3$ e

0.9

$0.9$ .

3.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7

$3.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

Passaggio 4.3

Somma

3.9

$3.9$ e

1.1

$1.1$ .

5 + 1.3 + 1.7

$5 + 1.3 + 1.7$

Passaggio 4.4

Somma

5

$5$ e

1.3

$1.3$ .

6.3 + 1.7

$6.3 + 1.7$

Passaggio 4.5

Somma

6.3

$6.3$ e

1.7

$1.7$ .

8

$8$

8

$8$

Passaggio 5

Lo scarto quadratico medio di una distribuzione è una misura della dispersione ed è uguale alla radice quadrata della varianza.

s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Passaggio 6

Inserisci i valori noti.

\sqrt{{(4 - (8))}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{{(4 - (8))}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

8

$8$ .

\sqrt{{(4 - 8)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{{(4 - 8)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.2

Sottrai

8

$8$ da

4

$4$ .

\sqrt{{(- 4)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{{(- 4)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.3

Eleva

- 4

$- 4$ alla potenza di

2

$2$ .

\sqrt{16 \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{16 \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.4

Moltiplica

16

$16$ per

0.4

$0.4$ .

\sqrt{6.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.5

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

8

$8$ .

\sqrt{6.4 + {(7 - 8)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + {(7 - 8)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.6

Sottrai

8

$8$ da

7

$7$ .

\sqrt{6.4 + {(- 1)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + {(- 1)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.7

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

2

$2$ .

\sqrt{6.4 + 1 \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 1 \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.8

Moltiplica

0.2

$0.2$ per

1

$1$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.9

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

8

$8$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.10

Sottrai

8

$8$ da

9

$9$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 1^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 1^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.11

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

\sqrt{6.4 + 0.2 + 1 \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 1 \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.12

Moltiplica

0.1

$0.1$ per

1

$1$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.13

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

8

$8$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.14

Sottrai

8

$8$ da

11

$11$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 3^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 3^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.15

Eleva

3

$3$ alla potenza di

2

$2$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 9 \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 9 \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.16

Moltiplica

9

$9$ per

0.1

$0.1$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.17

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

8

$8$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.18

Sottrai

8

$8$ da

13

$13$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 5^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 5^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.19

Eleva

5

$5$ alla potenza di

2

$2$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 25 \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 25 \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.20

Moltiplica

25

$25$ per

0.1

$0.1$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.21

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

8

$8$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - 8)}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - 8)}^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.22

Sottrai

8

$8$ da

17

$17$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 9^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 9^{2} \cdot 0.1}$

Passaggio 7.23

Eleva

9

$9$ alla potenza di

2

$2$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 81 \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 81 \cdot 0.1}$

Passaggio 7.24

Moltiplica

81

$81$ per

0.1

$0.1$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

Passaggio 7.25

Somma

6.4

$6.4$ e

0.2

$0.2$ .

\sqrt{6.6 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}

$\sqrt{6.6 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

Passaggio 7.26

Somma

6.6

$6.6$ e

0.1

$0.1$ .

\sqrt{6.7 + 0.9 + 2.5 + 8.1}

$\sqrt{6.7 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

Passaggio 7.27

Somma

6.7

$6.7$ e

0.9

$0.9$ .

\sqrt{7.6 + 2.5 + 8.1}

$\sqrt{7.6 + 2.5 + 8.1}$

Passaggio 7.28

Somma

7.6

$7.6$ e

2.5

$2.5$ .

\sqrt{10.1 + 8.1}

$\sqrt{10.1 + 8.1}$

Passaggio 7.29

Somma

10.1

$10.1$ e

8.1

$8.1$ .

\sqrt{18.2}

$\sqrt{18.2}$

\sqrt{18.2}

$\sqrt{18.2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

\sqrt{18.2}

$\sqrt{18.2}$

Forma decimale:

4.26614580 \dots

$4.26614580 \dots$

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