Matematica discreta Esempi

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 0 & 0.3 \\ 3 & 0.3 \\ 7 & 0.4 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 0 & 0.3 \\ 3 & 0.3 \\ 7 & 0.4 \end{array}$

Passaggio 1

Dimostra che la tabella soddisfa le due proprietà necessarie per una distribuzione di probabilità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Una variabile casuale discreta

x

$x$ assume una serie di valori separati (ad esempio

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). La sua distribuzione di probabilità assegna una probabilità

P (x)

$P (x)$ a ciascun valore possibile

x

$x$ . Per ciascun valore

x

$x$ , la probabilità

P (x)

$P (x)$ è compresa tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi e la somma delle probabilità per tutti i valori

x

$x$ possibili equivale a

1

$1$ .

1. Per ogni

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Passaggio 1.2

0.3

$0.3$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.3

$0.3$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.3

0.4

$0.4$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.4

$0.4$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.4

Per ogni

x

$x$ , la probabilità

P (x)

$P (x)$ rientra tra

0

$0$ e

1

$1$ compresi, che soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori di x

Passaggio 1.5

Trova la somma delle probabilità per tutti i possibili valori di

x

$x$ .

0.3 + 0.3 + 0.4

$0.3 + 0.3 + 0.4$

Passaggio 1.6

La somma delle probabilità per tutti i possibili valori di

x

$x$ è

0.3 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.3 + 0.3 + 0.4 = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Somma

0.3

$0.3$ e

0.3

$0.3$ .

0.6 + 0.4

$0.6 + 0.4$

Passaggio 1.6.2

Somma

0.6

$0.6$ e

0.4

$0.4$ .

1

$1$

1

$1$

Passaggio 1.7

Per ogni

x

$x$ , la probabilità di

P (x)

$P (x)$ rientra tra

0

$0$ e

1

$1$ compresi. Inoltre, la somma delle probabilità per tutti i possibili

x

$x$ è uguale a

1

$1$ , il che significa che la tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità.

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori

x

$x$

Proprietà 2:

0.3 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.3 + 0.3 + 0.4 = 1$

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori

x

$x$

Proprietà 2:

0.3 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.3 + 0.3 + 0.4 = 1$

Passaggio 2

La media attesa di una distribuzione è il valore previsto se le prove della distribuzione continuassero indefinitamente. Equivale a ciascun valore moltiplicato per la sua probabilità discreta.

0 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.4

$0 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.4$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica

0

$0$ per

0.3

$0.3$ .

0 + 3 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.4

$0 + 3 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.4$

Passaggio 3.2

Moltiplica

3

$3$ per

0.3

$0.3$ .

0 + 0.9 + 7 \cdot 0.4

$0 + 0.9 + 7 \cdot 0.4$

Passaggio 3.3

Moltiplica

7

$7$ per

0.4

$0.4$ .

0 + 0.9 + 2.8

$0 + 0.9 + 2.8$

0 + 0.9 + 2.8

$0 + 0.9 + 2.8$

Passaggio 4

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma

0

$0$ e

0.9

$0.9$ .

0.9 + 2.8

$0.9 + 2.8$

Passaggio 4.2

Somma

0.9

$0.9$ e

2.8

$2.8$ .

3.7

$3.7$

3.7

$3.7$

Passaggio 5

Lo scarto quadratico medio di una distribuzione è una misura della dispersione ed è uguale alla radice quadrata della varianza.

s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Passaggio 6

Inserisci i valori noti.

\sqrt{{(0 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(0 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

3.7

$3.7$ .

\sqrt{{(0 - 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(0 - 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Passaggio 7.2

Sottrai

3.7

$3.7$ da

0

$0$ .

\sqrt{{(- 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(- 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Passaggio 7.3

Eleva

- 3.7

$- 3.7$ alla potenza di

2

$2$ .

\sqrt{13.69 \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{13.69 \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Passaggio 7.4

Moltiplica

13.69

$13.69$ per

0.3

$0.3$ .

\sqrt{4.107 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Passaggio 7.5

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

3.7

$3.7$ .

\sqrt{4.107 + {(3 - 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + {(3 - 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Passaggio 7.6

Sottrai

3.7

$3.7$ da

3

$3$ .

\sqrt{4.107 + {(- 0.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + {(- 0.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Passaggio 7.7

Eleva

- 0.7

$- 0.7$ alla potenza di

2

$2$ .

\sqrt{4.107 + 0.49 \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.49 \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Passaggio 7.8

Moltiplica

0.49

$0.49$ per

0.3

$0.3$ .

\sqrt{4.107 + 0.147 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Passaggio 7.9

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

3.7

$3.7$ .

\sqrt{4.107 + 0.147 + {(7 - 3.7)}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + {(7 - 3.7)}^{2} \cdot 0.4}$

Passaggio 7.10

Sottrai

3.7

$3.7$ da

7

$7$ .

\sqrt{4.107 + 0.147 + {3.3}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + {3.3}^{2} \cdot 0.4}$

Passaggio 7.11

Eleva

3.3

$3.3$ alla potenza di

2

$2$ .

\sqrt{4.107 + 0.147 + 10.89 \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + 10.89 \cdot 0.4}$

Passaggio 7.12

Moltiplica

10.89

$10.89$ per

0.4

$0.4$ .

\sqrt{4.107 + 0.147 + 4.356}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + 4.356}$

Passaggio 7.13

Somma

4.107

$4.107$ e

0.147

$0.147$ .

\sqrt{4.254 + 4.356}

$\sqrt{4.254 + 4.356}$

Passaggio 7.14

Somma

4.254

$4.254$ e

4.356

$4.356$ .

\sqrt{8.61}

$\sqrt{8.61}$

\sqrt{8.61}

$\sqrt{8.61}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

\sqrt{8.61}

$\sqrt{8.61}$

Forma decimale:

2.93428015 \dots

$2.93428015 \dots$

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