Matematica discreta Esempi

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 9 & 0.2 \\ 10 & 0.1 \\ 15 & 0.4 \\ 16 & 0.3 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 9 & 0.2 \\ 10 & 0.1 \\ 15 & 0.4 \\ 16 & 0.3 \end{array}$

Passaggio 1

Dimostra che la tabella soddisfa le due proprietà necessarie per una distribuzione di probabilità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Una variabile casuale discreta

x

$x$ assume una serie di valori separati (ad esempio

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). La sua distribuzione di probabilità assegna una probabilità

P (x)

$P (x)$ a ciascun valore possibile

x

$x$ . Per ciascun valore

x

$x$ , la probabilità

P (x)

$P (x)$ è compresa tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi e la somma delle probabilità per tutti i valori

x

$x$ possibili equivale a

1

$1$ .

1. Per ogni

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Passaggio 1.2

0.2

$0.2$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.2

$0.2$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.3

0.1

$0.1$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.1

$0.1$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.4

0.4

$0.4$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.4

$0.4$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.5

0.3

$0.3$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.3

$0.3$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.6

Per ogni

x

$x$ , la probabilità

P (x)

$P (x)$ rientra tra

0

$0$ e

1

$1$ compresi, che soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori di x

Passaggio 1.7

Trova la somma delle probabilità per tutti i possibili valori di

x

$x$ .

0.2 + 0.1 + 0.4 + 0.3

$0.2 + 0.1 + 0.4 + 0.3$

Passaggio 1.8

La somma delle probabilità per tutti i possibili valori di

x

$x$ è

0.2 + 0.1 + 0.4 + 0.3 = 1

$0.2 + 0.1 + 0.4 + 0.3 = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma

0.2

$0.2$ e

0.1

$0.1$ .

0.3 + 0.4 + 0.3

$0.3 + 0.4 + 0.3$

Passaggio 1.8.2

Somma

0.3

$0.3$ e

0.4

$0.4$ .

0.7 + 0.3

$0.7 + 0.3$

Passaggio 1.8.3

Somma

0.7

$0.7$ e

0.3

$0.3$ .

1

$1$

1

$1$

Passaggio 1.9

Per ogni

x

$x$ , la probabilità di

P (x)

$P (x)$ rientra tra

0

$0$ e

1

$1$ compresi. Inoltre, la somma delle probabilità per tutti i possibili

x

$x$ è uguale a

1

$1$ , il che significa che la tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità.

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori

x

$x$

Proprietà 2:

0.2 + 0.1 + 0.4 + 0.3 = 1

$0.2 + 0.1 + 0.4 + 0.3 = 1$

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori

x

$x$

Proprietà 2:

0.2 + 0.1 + 0.4 + 0.3 = 1

$0.2 + 0.1 + 0.4 + 0.3 = 1$

Passaggio 2

La media attesa di una distribuzione è il valore previsto se le prove della distribuzione continuassero indefinitamente. Equivale a ciascun valore moltiplicato per la sua probabilità discreta.

Expectation = 9 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1 + 15 \cdot 0.4 + 16 \cdot 0.3

$Expectation = 9 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1 + 15 \cdot 0.4 + 16 \cdot 0.3$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Moltiplica

9

$9$ per

0.2

$0.2$ .

Expectation = 1.8 + 10 \cdot 0.1 + 15 \cdot 0.4 + 16 \cdot 0.3

$Expectation = 1.8 + 10 \cdot 0.1 + 15 \cdot 0.4 + 16 \cdot 0.3$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica

10

$10$ per

0.1

$0.1$ .

Expectation = 1.8 + 1 + 15 \cdot 0.4 + 16 \cdot 0.3

$Expectation = 1.8 + 1 + 15 \cdot 0.4 + 16 \cdot 0.3$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica

15

$15$ per

0.4

$0.4$ .

Expectation = 1.8 + 1 + 6 + 16 \cdot 0.3

$Expectation = 1.8 + 1 + 6 + 16 \cdot 0.3$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica

16

$16$ per

0.3

$0.3$ .

Expectation = 1.8 + 1 + 6 + 4.8

$Expectation = 1.8 + 1 + 6 + 4.8$

Expectation = 1.8 + 1 + 6 + 4.8

$Expectation = 1.8 + 1 + 6 + 4.8$

Passaggio 3.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma

1.8

$1.8$ e

1

$1$ .

Expectation = 2.8 + 6 + 4.8

$Expectation = 2.8 + 6 + 4.8$

Passaggio 3.2.2

Somma

2.8

$2.8$ e

6

$6$ .

Expectation = 8.8 + 4.8

$Expectation = 8.8 + 4.8$

Passaggio 3.2.3

Somma

8.8

$8.8$ e

4.8

$4.8$ .

Expectation = 13.6

$Expectation = 13.6$

Expectation = 13.6

$Expectation = 13.6$

Expectation = 13.6

$Expectation = 13.6$

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