Matematica discreta Esempi

\begin{matrix} x & P (x) 8 & 0.4 10 & 0.1 13 & 0.2 18 & 0.2 19 & 0.1 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 8 & 0.4 \\ 10 & 0.1 \\ 13 & 0.2 \\ 18 & 0.2 \\ 19 & 0.1 \end{array}$

Passaggio 1

Dimostra che la tabella soddisfa le due proprietà necessarie per una distribuzione di probabilità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Una variabile casuale discreta

$x$ assume una serie di valori separati (ad esempio

$0$ ,

$1$ ,

$2$ ...). La sua distribuzione di probabilità assegna una probabilità

$P (x)$ a ciascun valore possibile

$x$ . Per ciascun valore

$x$ , la probabilità

$P (x)$ è compresa tra

$0$ e

$1$ inclusi e la somma delle probabilità per tutti i valori

$x$ possibili equivale a

$1$ .

1. Per ogni

$x$ ,

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Passaggio 1.2

$0.4$ è compreso tra

$0$ e

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.4$ è compreso tra

$0$ e

$1$ inclusi

Passaggio 1.3

$0.1$ è compreso tra

$0$ e

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.1$ è compreso tra

$0$ e

$1$ inclusi

Passaggio 1.4

$0.2$ è compreso tra

$0$ e

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.2$ è compreso tra

$0$ e

$1$ inclusi

Passaggio 1.5

$0.1$ è compreso tra

$0$ e

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.1$ è compreso tra

$0$ e

$1$ inclusi

Passaggio 1.6

Per ogni

$x$ , la probabilità

$P (x)$ rientra tra

$0$ e

$1$ compresi, che soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori di x

Passaggio 1.7

Trova la somma delle probabilità per tutti i possibili valori di

$x$ .

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1$

Passaggio 1.8

La somma delle probabilità per tutti i possibili valori di

$x$ è

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma

$0.4$ e

$0.1$ .

$0.5 + 0.2 + 0.2 + 0.1$

Passaggio 1.8.2

Somma

$0.5$ e

$0.2$ .

$0.7 + 0.2 + 0.1$

Passaggio 1.8.3

Somma

$0.7$ e

$0.2$ .

$0.9 + 0.1$

Passaggio 1.8.4

Somma

$0.9$ e

$0.1$ .

$1$

Passaggio 1.9

Per ogni

$x$ , la probabilità di

$P (x)$ rientra tra

$0$ e

$1$ compresi. Inoltre, la somma delle probabilità per tutti i possibili

$x$ è uguale a

$1$ , il che significa che la tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità.

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1:

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori

$x$

Proprietà 2:

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1:

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori

$x$

Proprietà 2:

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$

Passaggio 2

La media attesa di una distribuzione è il valore previsto se le prove della distribuzione continuassero indefinitamente. Equivale a ciascun valore moltiplicato per la sua probabilità discreta.

$Expectation = 8 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.2 + 18 \cdot 0.2 + 19 \cdot 0.1$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Moltiplica

$8$ per

$0.4$ .

$Expectation = 3.2 + 10 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.2 + 18 \cdot 0.2 + 19 \cdot 0.1$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica

$10$ per

$0.1$ .

$Expectation = 3.2 + 1 + 13 \cdot 0.2 + 18 \cdot 0.2 + 19 \cdot 0.1$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica

$13$ per

$0.2$ .

$Expectation = 3.2 + 1 + 2.6 + 18 \cdot 0.2 + 19 \cdot 0.1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica

$18$ per

$0.2$ .

$Expectation = 3.2 + 1 + 2.6 + 3.6 + 19 \cdot 0.1$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica

$19$ per

$0.1$ .

$Expectation = 3.2 + 1 + 2.6 + 3.6 + 1.9$

Passaggio 3.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma

$3.2$ e

$1$ .

$Expectation = 4.2 + 2.6 + 3.6 + 1.9$

Passaggio 3.2.2

Somma

$4.2$ e

$2.6$ .

$Expectation = 6.8 + 3.6 + 1.9$

Passaggio 3.2.3

Somma

$6.8$ e

$3.6$ .

$Expectation = 10.4 + 1.9$

Passaggio 3.2.4

Somma

$10.4$ e

$1.9$ .

$Expectation = 12.3$

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