Matematica discreta Esempi

[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 3 \end{array}]$

Passaggio 1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

0

$0$ . Se non ci sono elementi

0

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga

1

$1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

-

$-$ .

Passaggio 1.3

Il minore per

a_{11}

$a_{11}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

1

$1$ eliminate.

| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Moltiplica l'elemento

a_{11}

$a_{11}$ per il suo cofattore.

3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |

$3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.5

Il minore per

a_{12}

$a_{12}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

2

$2$ eliminate.

| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Moltiplica l'elemento

a_{12}

$a_{12}$ per il suo cofattore.

0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |

$0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.7

Il minore per

a_{13}

$a_{13}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

3

$3$ eliminate.

| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Moltiplica l'elemento

a_{13}

$a_{13}$ per il suo cofattore.

1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Somma i termini.

3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Passaggio 2

Moltiplica

0

$0$ per

| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$ .

3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola

| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 (4 \cdot 3 - 4 \cdot 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 (4 \cdot 3 - 4 \cdot 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica

4

$4$ per

3

$3$ .

3 (12 - 4 \cdot 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 (12 - 4 \cdot 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

4

$4$ .

3 (12 - 16) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 (12 - 16) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

3 (12 - 16) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 (12 - 16) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Sottrai

16

$16$ da

12

$12$ .

3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola

| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 \cdot - 4 + 0 + 1 (2 \cdot 4 - 4 \cdot 4)

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 (2 \cdot 4 - 4 \cdot 4)$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica

2

$2$ per

4

$4$ .

3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 4 \cdot 4)

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 4 \cdot 4)$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

4

$4$ .

3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 16)

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 16)$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 16)

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 16)$

Passaggio 4.2.2

Sottrai

16

$16$ da

8

$8$ .

3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica

3

$3$ per

- 4

$- 4$ .

- 12 + 0 + 1 \cdot - 8

$- 12 + 0 + 1 \cdot - 8$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica

- 8

$- 8$ per

1

$1$ .

- 12 + 0 - 8

$- 12 + 0 - 8$

- 12 + 0 - 8

$- 12 + 0 - 8$

Passaggio 5.2

Somma

- 12

$- 12$ e

0

$0$ .

- 12 - 8

$- 12 - 8$

Passaggio 5.3

Sottrai

8

$8$ da

- 12

$- 12$ .

- 20

$- 20$

- 20

$- 20$

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